O derékszögű háromszög azért kapja ezt a nevet, mert egyik szöge 90º, vagyis derékszög. Az egyik legtöbbet tanulmányozott poligon síkmértan, láthattunk néhány összefüggést a szögek és az ábra oldalai között.
O Pitagorasz tétel, például azt a felismerést követően fejlesztették ki, hogy összefüggés van a háromszög oldalainak mérései között. Így a háromszög két oldalának méréseinek ismeretében kiszámítható a harmadik oldal értéke. Pythagoras tétele szerint a lábak négyzetének összege mindig megegyezik a hipotenúz négyzetével.
Ennek a háromszögnek a tanulmányozása során a pythagoraszus tétel mellett egy másik fontos terület alakult ki trigonometria, amelyben kifejlesztik a háromszög oldalai közötti szinusz, koszinusz és tangens arányokat. Ezen okok miatt figyeltek fel arra, hogy a derékszögű háromszögek egyenlő szögű oldalainak mérései között arány van.
Olvassa el: Melyek a háromszög figyelemre méltó pontjai?
Jobb háromszög jellemzői
A derékszögű háromszög a
sokszög, amelynek három oldala vanés három szög, és e szögek egyike egyenes, vagyis 90º. A másik két szög éles, vagyis kevesebb, mint 90 °. A leghosszabb oldal, amely mindig szemben áll a 90 ° -os szöggel, az úgynevezett átfogó, és a másik kettőt hívják pecások.A derékszögű háromszög megőrzi a közös háromszög összes ismert tulajdonságát, például azt, hogy A belső szögek összege legyen 180 °. Mivel az összeg mindig 180º és az egyik szöge már 90º, azt mondhatjuk, hogy a másik két szög mindig kiegészíti egymást, vagyis összege is megegyezik 90º-val.
a és b → mell
c → hipotenusz
A derékszögű háromszög kerülete
Bármely sokszög kerülete minden oldalának összege hossza. Tehát a derékszögű háromszög kerületének kiszámításához csak adja hozzá az oldalát.
P = a + b + c
derékszögű háromszög területe
A háromszög területe téglalap, valamint a háromszög bármelyik, a termék fele az alap és a magasság között. A derékszögű háromszög különlegessége, hogy az egyik lába egybeesik a magasságával, mivel merőlegesek egymásra, így a terület kiszámításához megszorozzuk a lábakat, és az eredményt elosztjuk kettővel.
Példa:
Számítsa ki az alatta lévő derékszögű háromszög kerületét és területét, tudván, hogy oldalai centiméterben vannak megadva.
P = 8 + 15 + 17
P = 40 cm
Most számítsuk ki a területet:
Lásd még: A háromszög területének kiszámítása szögek segítségével
Pitagorasz tétel
A matematika legismertebb tétele kétségtelenül a Pitagorasz-tétel. Ebből a tételből láthattuk, hogy a derékszögű háromszög oldalai a következőképpen kapcsolódnak egymáshoz: adott derékszögű háromszög esetén a lábak négyzetének összege megegyezik a hipotenusz négyzetével.
a² + b² = c²
a és b → mell
c → hipotenusz
Ebből a tételből meg lehet találni a derékszögű háromszög mindkét oldalának értékét, amennyiben a másik kettő ismert.
Példa:
Mennyi az alatta lévő derékszögű háromszög hipotenuszának értéke, ha tudjuk, hogy a mérése centiméterben van megadva?
A Pitagorasz-tétel alkalmazásával:
6² + 8² = x²
36 + 64 = x²
100 = x2
x² = 100
x = √100
x = 10 cm
Ha többet szeretne megtudni erről a fontos kapcsolatról, olvassa el a szöveget: TPythagoras tétel.
Trigonometria a derékszögű háromszögben
A trigonometria elnevezés már a tanulmány tárgyára utal:
- tri → három;
- gono → szög;
- metrika → metrika vagy mérték.
Így a trigonometria a matematika azon területe a háromszög szögeinek mérése közötti kapcsolatot vizsgálja és itt ragaszkodunk a derékszögű háromszöghez. A trigonometria a háromszög oldalai közötti arányt vizsgálja annak szerint szög. Ezzel fontos koncepciókat lehetett kidolgozni, amelyek az okok szinusz, koszinusz és érintő. Érdemes megemlíteni, hogy más trigonometriai okokat a trigonometriai kör trigonometriai vizsgálatának elmélyítésével fejlesztettek ki.
Mielőtt megértenénk, melyek ezek az arányok, fontos megérteni, hogy mi az ellenkező oldal és mi a szomszédos oldal egy háromszög szögében.
Mint láttuk, a átfogó az AB szegmens által ábrázolt oldal, mivel ez mindig a háromszög leghosszabb oldala és a 90 ° -os szöget zár be. A többi oldalt lábaknak nevezik. A referenciaként alkalmazott szögtől függően az oldal lehet szemben vagy szomszédos.
A pecát az ellenkezőjének nevezik, ha szöget zár be. A opposite szemközti szög például az AC oldal; másrészt a ladóval ellentétes oldal a BC oldal.
O a pecát szomszédosnak nevezik amikor ő képezi a szöget a hipotenusz közelében. Vegye figyelembe, hogy a angle szög a BC és az AB oldal között van. Mivel AB a derékszögű háromszög hipotenúza, akkor AB a angle szöggel szomszédos láb. Ugyanezen érvelés alapján látható, hogy az lAz ado AC a angle szög szomszédos oldala.
A háromszög mindkét oldalának megértésével meg lehet érteni a trigonometrikus arányok.
A trigonometrikus arányok alkalmazásához ismernünk kell a figyelemre méltó szögeket, vagyis a 30, 45 és 60 fokos szöget. A legtöbb vizsga és felvételi vizsga problémája ezekhez a szögekhez kapcsolódik, ezért meg kell ismerni az egyes okok értékeit.
Lásd a táblázatot a szinusz, koszinusz és tangens értékekkel a nevezetes szögekről:
Ismerve a háromszög trigonometrikus arányainak értékét oldal és szög segítségével, a trigonometria alapján meg lehet találni a derékszögű háromszög minden oldalát.
Példa:
Keresse meg x értékét.
Az x értékének megtalálásához nézzük meg a megadott szöget. Ne feledje, hogy szomszédos azzal az oldallal, amelyről a mértéket ismerjük, vagyis az AC szomszédos a 30 ° -os szöggel. Ezután alkalmazzuk az érintő arányt, amely a szomszédos oldalra és a hipotenuszra vonatkozik. Az asztalra nézve tudjuk, hogy a 30. koszinusz egyenlő √3 / 2-vel.
Hozzáférhet továbbá: 4 leggyakoribb hiba az alap trigonometriában
Gyakorlatok megoldva
1. kérdés - (IFG) A teodolit az építési munkák során használt precíziós eszköz vízszintes és függőleges szögek mérésére. Egy céget béreltek fel egy négyemeletes épület festésére. A teljes festendő terület megismeréséhez meg kell találnia az épület magasságát. Egy személy 1,65 méter magasan helyezi el a műszert, 30 ° -os szöget találva, az ábra szerint. Ha feltételezzük, hogy a teodolit 13√3 méterre van az épülettől, akkor mekkora a festendő épület magassága méterben?
A) 11,65
B) 12,65
C) 13,65
D) 14,65
E) 15,65
Felbontás
D. alternatíva
Mivel meg akarjuk találni a 30 ° szöggel szemközti oldalt, tudván, hogy a 13√3 távolság, amely a teodolit és az épület közötti távolság, a 30 ° szöggel szomszédos oldal, ezért az érintőt fogjuk használni:
Most hozzáadunk 13 + 1,65 = 14,65 méter magasat.
2. kérdés - A birtokán történő ültetés elvégzéséhez egy gazda a téglalap alakban megművelhető földjét felére, annak átlójára osztotta, két derékszögű háromszöget alkotva. Ebben a felosztásban a föld felét drótokkal fogják elkeríteni, 4 vezetéket használva. Tudva, hogy a föld mérete 20 méter széles és 21 méter hosszú, mennyit költenek drótra?
A) 29 méter
B) 70 méter
C) 140 méter
D) 210 méter
E) 280 méter
Felbontás
E. alternatíva
Először keressük meg a terepátlót, amely a derékszögű háromszög hipotenusa. Ennek megkönnyítése érdekében elkészítjük a helyzetképet:
Tehát:
d² = 20² + 21²
d² = 400 + 441
d² = 841
d = √841
d = 29
A körbejáráshoz 29 + 20 + 21 = 70 métert kell megtennünk, ahogy 4 kör, 70 · 4 = 280 méter lesz.
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm
