A exponenciális függvény akkor fordul elő, amikor kialakulási törvényében a változó az exponensben van, a tartomány és az ellendomén pedig a valós számok. Az exponenciális függvény tartománya a valós számok, a számláló tartomány pedig a nem nulla pozitív valós számok. Képzési törvényed leírható f (x) =Ax, mire A 1-től eltérő pozitív valós szám.
O grafikus Az exponenciális függvény értéke mindig a derékszögű sík első és második negyedében lesz, és növekedhet, ha A értéke nagyobb, mint 1, vagy csökken, ha A 1-nél kisebb pozitív szám. A inverz függvény az exponenciális függvény logaritmikus függvénye, amely e függvények grafikonjait mindig szimmetrikusvá teszi.
Olvassa el: Mi a funkció?
Mi az exponenciális függvény?
Ahogy a neve is sugallja, az exponenciális kifejezés az exponenshez kapcsolódik. Tehát az exponenciális függvénydefiníció a funkció, amelynek tartomány a valós számok halmaza, az ellendomain pedig a nem nulla pozitív valós számok halmaza., írja le : ℝ → ℝ *
+. Kialakulási törvényét az f (x) = egyenlet írja le Ax, mire A ez bármilyen valós szám, pozitív, nem nulla és megadta az alapnevet.Példák:
A képződési törvényben f (x) y-ként is leírható, és a többi függvényhez hasonlóan az is függő változóként ismert, mert értéke x-től függ, amelyet változónak nevezünk. független.
Exponenciális függvénytípusok
Az exponenciális függvények két különböző esetre oszthatók. Figyelembe véve a függvény viselkedését, lehet emelkedő vagy csökkenő.
Az exponenciális függvényt akkor nevezzük növekvőnek, ha az x értékének növekedésével az f (x) értéke is növekszik. Ez akkor fordul elő, ha az alap nagyobb, mint 1, azaz: A > 1.
Példa:
Az exponenciális függvény akkor tekinthető csökkenőnek, ha az x értékének növekedésével az f (x) értéke csökken. Ez akkor fordul elő, ha az alap 0 és 1 közötti szám, azaz 0 < A < 1.
Példa:
Olvassa el: Különbségek a függvény és az egyenlet között
Exponenciális függvénydiagram
Az exponenciális függvény grafikus ábrázolásához meg kell találni a képet egyes tartományi értékekhez. Az exponenciális függvény grafikonjának a növekedés jellemzője sokkal nagyobb, mint a lineáris függvények, ha növekszik, vagy nagyobb csökkenés, ha csökken.
Példák:
a) Készítsd el a függvény grafikonját: f (x) = 2x.
Mivel> 1, akkor ez a funkció növekszik. A grafikon felépítéséhez rendeljünk néhány értéket x-hez, az alábbi táblázat szerint:
Most, hogy ismerjük a függvény néhány pontját, meg lehet jelölni őket a Derékszögű sík és ábrázolja az exponenciális függvénygörbét.
b) Készítse el a következő függvény grafikonját:
Ebben az esetben a függvény csökkenő, mivel az alap 0 és 1 közötti szám, akkor a grafikon csökkenő lesz.
Néhány numerikus érték megtalálása után lehetőség van a függvény grafikonjának ábrázolására a derékszögű síkban:
Exponenciális funkciótulajdonságok
→ 1. ingatlan
Bármely exponenciális függvényben, függetlenül annak alapértékétől A, Nekünk kellf (0) = 1. Végül is tudjuk, hogy ez a potencia tulajdonság, vagyis minden 0-ra emelt szám 1. Ez azt jelenti, hogy a grafikon minden alkalommal metszi a függőleges tengelyt a (0.1) pontban.
→ 2. ingatlan
Az exponenciális függvény az injektor. X adat1 és x2 olyan, hogy x1 ≠ x2, így a képek is különbözőek lesznek, azaz f (x1) ≠ f (x2), ami azt jelenti, hogy minden képértékhez egyetlen érték van a tartományban, amely megfelel annak a képnek.
Injektívnek lenni azt jelenti, hogy az y-tól eltérő értékek esetén egyetlen x érték lesz, amely f (x) -et egyenlővé teszi y-vel.
→ 3. ingatlan
Lehetséges megismerni a függvény viselkedését alapértéke szerint. A grafikon növekedni fog, ha az alap nagyobb, mint 1 (A > 1), és csökken, ha az alap kevesebb, mint 1 és kevesebb, mint 0 (0
→ 4. ingatlan
O az exponenciális függvény grafikonja mindig az 1. és a 2. negyedben található, mert a függvény ellendomainje a nulla pozitív valós.
Olvassa el: Hogyan ábrázolhatunk függvényt?
Exponenciális és logaritmikus függvény
Mivel az exponenciális függvény egy olyan függvény, amely megengedi az inverz funkciót, az exponenciális függvény és a logaritmikus függvény közötti összehasonlítás elkerülhetetlen. kiderül a logaritmikus függvény az exponenciális érték inverz függvénye. Ezen függvények grafikonjai szimmetrikusak az x tengely felezőjére. Inverz függvénynek lenni azt jelenti, hogy a logaritmikus függvény az exponenciális függvényével ellentétesen cselekszik, vagyis az exponenciális függvényben, ha f (x) = y, akkor a logaritmikus függvényt inverzként f-vel jelöljük-1 az f-1 (y) = x.
megoldott gyakorlatok
(Enem 2015) Egy vállalat munkavállalói szakszervezete azt javasolja, hogy az osztály fizetési szintje 1800,00 R $, ami a munkának szentelt minden évre rögzített százalékos emelést javasol. A fizetési javaslat (ok) nak megfelelő kifejezés a szolgálati idő (t) függvényében, években, s (t) = 1800 · (1,03)t.
A szakszervezet javaslata szerint ennek a cégnek a 2 év szolgálati idővel rendelkező szakemberének fizetése valójában
a) 7416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1909,62
Felbontás:
A függvény képét akkor akarjuk kiszámítani, amikor t = 2, azaz s (2). Helyettesítve a képletben t = 2, azt találjuk, hogy:
s (2) = 1800 · (1,03) 2
s (2) = 1800 · 1,0609
s (2) = 1909,62
E alternatíva
2) (Enem 2015) A technológiák hozzáadása az ipari termelési rendszerbe a költségek csökkentését és a termelékenység növelését célozza. A működés első évében egy ipar 8000 egységet gyártott egy adott termékből. A következő évben befektetett a technológiába, új gépek beszerzésébe és 50% -kal növelte a termelést. Becslések szerint ez a százalékos növekedés a következő években megismétlődik, garantálva az évi 50% -os növekedést. Legyen P az előállított termékek éves mennyisége az ipar működésének t évében.
Ha elértük a becslést, mi az a kifejezés, amely meghatározza a megtermelt egységek számát Pfüggvényében t, a t ≥ 1?
A) P(t) = 0,5 · t -1 + 8 000
B)P(t) = 50 · t -1 + 8000
ç)P(t) = 4 000 · t-1 + 8 000
d)P(t) = 8 000 · (0,5)t-1
és)P(t) = 8 000 · (1,5)t-1
Felbontás:
Ne feledje, hogy van kapcsolat az év között t és egy bizonyos termék mennyisége P. Annak tudatában, hogy minden évben 50% -os növekedés tapasztalható, ez azt jelenti, hogy az egy évvel előtti és utáni termelés összehasonlításakor a második értéke 150% -nak felel meg, amelyet 1,5 képvisel. Tudva, hogy a kezdeti termelés 8000, és hogy az első évben ez volt a gyártás, ezt a helyzetet a következőkkel írhatjuk le:
Az első évben, azaz ha t = 1 → s (t) = 8 000.
A második évben, ha t = 2 → P(2) = 8 000 · 1,5.
A harmadik évben, ha t = 3 → P(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
T év múlva meglesz P(t) = 8 000 · (1,5)t-1.
E alternatíva
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htm
