A számtani haladás feltételeinek összege

Egy számtani progresszió (PA) a sorrend numerikus, amelyben minden tag az előző egy állandójának az összege, az úgynevezett arány. Léteznek matematikai kifejezések a PA időtartamának meghatározásához és annak összegének kiszámításához nem első kifejezések.

A. Kiszámításához használt képlet kifejezések összege véges PA vagy az összeg összege nem a KM első feltételei a következők:

s_nem = nál nél₁ + a_nem)
2

* n a BP kifejezések száma; A₁ az első kifejezés, és a_nem az utolsó.

A KF feltételeinek összegének eredete

Azt mondják, hogy a körülbelül tízéves Carl Friederich Gauss német matematikust osztályában megbüntették az iskolában. A tanár azt mondta a diákoknak, hogy adják össze az összes számot, amely megjelenik a sorrend 1-től 100-ig.

Gauss nem csak az első, aki nagyon rövid idő alatt végzett, hanem ő volt az egyetlen, aki megkapta az eredményt (5050). Ezenkívül nem mutatott ki számításokat. Amit a következő ingatlan javításával végzett:

A véges PA végleteitől egyenlő távolságra lévő két kifejezés összege megegyezik a végletek összegével.

Nem voltak ismeretek PÁN abban az időben, de Gauss megnézte a számok listáját, és rájött, hogy az elsőnek az utolsóhoz való hozzáadása 101-et eredményez; hozzáadva a másodikat az utolsó előttihez, az eredmény szintén 101 lenne, és így tovább. Az összes kifejezéspár összegeként egyenlő távolságra a szélsőségek 101-re kerültek, Gauss-nak csak ezt a számot kellett megszoroznia a rendelkezésre álló kifejezések felével az 5050-es eredmény megtalálásához.

Vegye figyelembe, hogy az 1-től a 100-ig pontosan 100 szám van. Gauss rájött, hogy ha kettőt-kettőt hozzáad, akkor 50 eredményt kap, ami 101-nek felel meg. Ezért ezt a szorzást a teljes kifejezések felével végeztük el.

A PA kifejezéseinek összegének bemutatása

Ez a bravúr eredményezte a kifejezés kiszámításához használt kifejezést összege nem a PA első feltételei. Ennek a kifejezésnek az eléréséhez használt taktika a következő:

adott egyet PÁN bármelyik, hozzáadjuk az első n kifejezést. Matematikailag:

s_nem = a₁ + a₂ + a₃ +… + A_{n - 2} + a_{n - 1} + a_nem

Ez alatt van kifejezések összege, írunk egy másikat, ugyanazokkal a feltételekkel, mint az előző, de csökkenő értelemben. Ne feledje, hogy az elsőben szereplő kifejezések összege megegyezik a másodikban szereplő kifejezések összegével. Ezért mindkettőt S-vel egyenlítettük_nem.

s_nem = a₁ + a₂ + a₃ +… + A_{n - 2} + a_{n - 1} + a_nem

s_nem = a_nem + a_{n - 1} + a_{n - 2} +… + A₃ + a₂ + a₁

Megjegyezzük, hogy ezt a két kifejezést egyetlen példány nyerte PÁN és hogy az egyenlő távolságra lévő kifejezések függőlegesen igazodnak egymáshoz. Ezért hozzáadhatjuk a kifejezéseket, hogy megszerezzük:

s_nem = a₁ + a₂ + a₃ +… + A_{n - 2} + a_{n - 1} + a_nem

+ s_nem = a_nem + a_{n - 1} + a_{n - 2} +… + A₃ + a₂ + a₁

2S_nem = (a₁ + a_nem) + (a₂ + a_{n - 1}) +… + (A_{n - 1} + a₂) + (a_nem + a₁)

Ne feledje, hogy a szélsőségektől egyenlő távolságban lévő kifejezések összege megegyezik a szélsőségek összegével. Ezért minden zárójelet a szélsőségek összegével lehet helyettesíteni, ahogy ezt a következő módon tesszük:

2S_nem = (a₁ + a_nem) + (a₁ + a_nem) +... + (a₁ + a_nem) + (a₁ + a_nem)

Gauss elképzelése az volt, hogy hozzáadjon egy szekvencia egyenlő távolságra lévő tagjait. Tehát a szerződési feltételek felét kapta PÁN a 101. eredményben. Úgy készítettük el, hogy a kezdeti BP minden tagját hozzáadtuk egyenlő távolságú értékéhez, megőrizve annak értékét kifejezések száma. Így, mivel a PA-nak n tagja volt, a fenti kifejezésben szereplő összeget szorzattal megváltoztathatjuk, és megoldhatjuk a egyenlet megtalálni:

2S_nem = (a₁ + a_nem) + (a₁ + a_nem) +... + (a₁ + a_nem) + (a₁ + a_nem)

2S_nem = n (a₁ + a_nem)

s_nem = nál nél₁ + a_nem)
2

Pontosan ezt a képletet használják a nem a PA első feltételei.

Példa

Adva P.A (1, 2, 3, 4), határozza meg az első 100 kifejezés összegét.

Megoldás:

Meg kell találnunk az a kifejezést₁₀₀. Ehhez a általános kifejezés képlete PA:

A_nem = a₁ + (n - 1) r

A₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

A₁₀₀ = 1 + 99

A₁₀₀ = 100

Most az első n kifejezés összegzésének képlete:

s_nem = nál nél₁ + a_nem)
2

s₁₀₀ = 100(1 + 100)
2

s₁₀₀ = 100(101)
2

s₁₀₀ = 10100
2

s₁₀₀ = 5050

Luiz Paulo Moreira
Matematikából végzett

Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm