A nevezők racionalizálása az a technika, amelyet a töredék irracionális számmal rendelkezik a nevezőben, és szeretné megtalálni az első törtnek megfelelő második frakciót, de amelynek nevezőjében nincs irracionális szám. Ehhez matematikai műveleteket kell végrehajtani a törtrész átírásához, hogy annak nevezőjében ne legyen pontatlan gyökér.
Olvassa el: Hogyan lehet megoldani a törtekkel végzett műveleteket?
Hogyan lehet ésszerűsíteni a nevezőket?
Kezdjük a nevezők ésszerűsítésének legegyszerűbb esetével, és továbblépünk a legösszetettebbre, de maga a technika az, hogy egyenértékű frakció a számláló és a nevező szorzata egy kényelmes számmal, amely lehetővé teszi a frakció nevezőjének gyökérzetének kiküszöbölését. Az alábbiakban olvassa el, hogyan lehet ezt megtenni különböző helyzetekben.
Racionalizálás, ha négyzetgyök van a nevezőben
Vannak olyan törtek, amelyekkel ábrázolható irracionális számok a nevezőkben. Néhány példa:
Ha a törtrész nevezője irracionális, akkor néhány technikát használunk racionális nevezővé alakításáért, például racionalizálást. amikor van egy
négyzetgyök a nevezőben két esetre oszthatunk. Az első az amikor a frakciónak csak egy gyöke van a gyökében.1. példa:
Ennek a nevezőnek a racionalizálása érdekében keressük meg az ezzel egyenértékű részt, de amelynek nincs irracionális nevezője. Erre nézzük szorozza meg a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal - ebben az esetben pontosan a frakció nevezője lesz, vagyis √3.
Nál nél törtek szorzata, egyenesen szaporodunk. Tudjuk, hogy 1 · √3 = √3. A nevezőben megvan, hogy √3 · √3 = √9 = 3. Ezzel a következőkre jutunk:
Ezért van egy olyan frakciónk ábrázolása, amelynek nevezője nem irracionális szám.
2. példa:
A második eset az, amikor van egy összeadás vagy különbség egy pontatlan gyök között.
Ha a nevezőben van különbség vagy kiegészítés a kifejezésekben, amelyek közül az egyik a nem pontos gyök, a számlálót és a nevezőt megszorozzuk a nevező konjugátumával. A √2 - 1 konjugátumát a második szám inverzének, azaz √2 + 1-nek nevezzük.
A szorzót a számlálóban végrehajtva:
3(√2 + 1) = 3√2 +3
A nevező a figyelemre méltó termék ismert, mint a különbség összegének szorzata. Ennek eredménye mindig az első tag négyzete mínusz a második tag négyzete.
(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1
(√2 – 1)(√2 + 1) = 1
Tehát ennek a frakciónak a nevezőjét racionalizálva:
Lásd még: Három általános hiba az algebrai törtrész egyszerűsítésében
Racionalizálás, ha 2-nél nagyobb indexgyökér van
Most nézzünk meg néhány példát, amikor a nevezőben 2-nél nagyobb indexek gyökere található.
Mivel a cél a radikális felszámolása, szorozzuk meg a nevezőt, hogy ennek a nevezőnek a gyöke kiiktatható legyen.
1. példa:
Ebben az esetben a radikális kitevőjének kiküszöbölésére tegyük szorozzuk meg a számláló és a nevező 2² köbgyökével, úgy, hogy a 2³ gyök belsejében megjelenjen, és ezáltal lehessen törölni a köbös gyökeret.
A szorzás elvégzésével:
2. példa:
Ugyanezzel az érveléssel szorozzuk meg a nevezőt és a számlálót egy számmal, amely a potencia a nevezőtől az indexig, vagyis nézzük szorozzuk meg a 3 kockás ötödik gyökérrel hogy törölje a nevezőt.
Olvassa el: Hogyan lehet egyszerűsíteni az algebrai törtrészeket?
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - Az alábbi tört nevezőjét racionalizálva a következőket találjuk:
A) 1 + √3.
B) 2 (1 + √3).
C) - 2 (1+ √3).
D) √3.
E) √3 –1.
Felbontás
C. alternatíva
2. kérdés - (IFCE 2017 - adaptálva) A √5 és √3 értékeit egy második tizedesjegyre közelítve 2,23-at, illetve 1,73-at kapunk. Körülbelül a következő numerikus kifejezés értéke egy második tizedesjegyig:
A) 1.98.
B) 0,96.
C) 3,96.
D) 0,48.
E) 0,25.
Felbontás
E. alternatíva
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm