O csonkakúp térfogata ez a kerek test által elfoglalt hely. Mivel az R sugarú kúp keresztmetszete kisebb sugarú kúpot hoz létre r és egy csonka kúp, ennek a három testnek a térfogata összefügg.
Olvass te is: Hogyan számoljuk ki a piramis törzsét
Összegzés a csonkakúp térfogatáról
- Egy R sugarú kúp keresztirányban vágott egy magasságban H Az alapsík két geometriai testre oszlik: egy sugarú kúpra r Ez egy törzskúp.
- A csonka kúp fő elemei a magasság H, a sugár legkisebb alapja r és nagyobb R sugarú alap.
- A csonkakúp térfogata az R sugarú kúp térfogata és a sugarú kúp térfogata közötti különbség r.
- A csonka kúp térfogatának képlete:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
Videó lecke a csonkakúp térfogatáról
Melyek a csonkakúp elemei?
Az R sugarú jobb oldali kúp metszetéből kialakított csonka kúp elemei:
- kisebb alap – sugarú kör r, amelyet az R sugarú kúp metszetében kapunk.
- nagyobb alap – az R sugarú kúp köralapja.
- Magasság (h) – az alapok síkjai közötti távolság.
- Alkotó – szegmens végekkel a kerületeken, amelyek az alapokat határolják.
A Az alábbi kép egy csonkakúp elemeit mutatja be. Vegyük észre, hogy a kisebb és nagyobb alapok párhuzamosak.
Trunk of Cone Volume Formula
Ezután következtessük a magassági csonka térfogatának képletét H, kisebb alapsugár r és a legnagyobb R bázis sugara.
Vegyük figyelembe, hogy egy R sugarú és H magasságú kúp keresztmetszete1 két szilárd anyagot termel:
- egy villámkúp r és H magasság2 Ez
- egy magas törzskúp H .
rájöttem \(H_1=H_2+ó\).
Az R sugarú kúp térfogatát (amelyet nagyobb kúpnak fogunk nevezni) a VR fog reprezentálni; a sugárkúp térfogata r (amit kisebb kúpnak fogunk nevezni), Vr; a csonkakúp térfogata pedig Vt. Ebből adódóan:
\(V_R=V_r+V_t\)
Vegye figyelembe, hogy:
- \(V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
- \(V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)
Megfigyelés: VR és Vr kúp térfogatai. Az ügy áttekintéséhez kattintson a gombra itt.
Mint ez:
\(V_R=V_r+V_t\)
\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
A H2 tag a kisebb kúp magasságának felel meg. A kúpok magasságát az alapok megfelelő sugarával összefüggésbe hozva a törzs térfogatára vonatkozó képletet kaphatjuk, amely csak a törzs elemeitől függ (R, r Ez H).
A nagyobb kúp sugarának és magasságának társítása (R és H1 ) a kisebb kúp sugarával és magasságával (r és H2), a következő arányt kapjuk:
\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)
\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)
\(RH_2=rH_2+rh\)
\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)
Hamar, átírhatjuk a törzs térfogatát Vt alábbiak szerint:
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)
Mint ez, A csonkakúp térfogatának képlete az:
\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)
Olvasd el te is: Különféle geometriai testek térfogatképletei
Hogyan kell kiszámítani a csonka kúp térfogatát?
A csonka kúp térfogatának kiszámításához csak helyettesítse a magasság mérését, a kisebb alap sugarát és a nagyobb alap sugarát a képletben.
- Példa: Mekkora térfogata köbcentiméterben annak a csonka kúpnak, amelyben a nagyobb alap sugara R = 5 cm, a kisebbik alap sugara az r = 3 és a magassága az h = 2 cm? (Használja a π-t=3 )
A képletben szereplő adatokat behelyettesítve a következőt kapjuk:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)
\(V_t=2⋅(49)\)
\(V_t=98 cm³\)
Gyakorlatokat megoldott a csonkakúp térfogatára
1. kérdés
Egy edény csonka kúp alakú, a legnagyobb alapsugár R = 8 cm, a legkisebb alapsugár r = 4 és a magasság h = 2 cm. Ennek az edénynek a térfogata cm³-ben:
a) 48 pi
b) 64 pi
c) 112 pi
d) 448 pi
e) 1344 pi
Felbontás
A képletben szereplő adatokat behelyettesítve a következőt kapjuk:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)
\(V_t=4π⋅(112)\)
\(V_t=448 π\)
Alternatíva D
2. kérdés
(Enem 2021) Egy ember vett egy bögrét levest inni, ahogy az ábra mutatja.
Ismeretes, hogy 1 cm³ = 1 ml, és hogy a bögre teteje egy 10 cm átmérőjű (D), az alja pedig egy 8 cm átmérőjű kör (d).
Továbbá ismert, hogy ennek a bögrének a magassága (h) 12 cm (a felső és az alsó kör középpontja közötti távolság).
Használja a 3-at π közelítéseként.
Mennyi ennek a bögrének a térfogata milliliterben?
a) 216
b) 408
c) 732
d) 2196
e) 2928
Felbontás
A bögre formája csonka kúp, amelyben a teteje a nagyobb alap. Továbbá, R=5, r = 4 cm és H = 12. Hamar:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)
\(V_t=12⋅(61)\)
\(V_t=732 cm³\)
Mivel 1 cm³ = 1 ml, akkor 732 cm³ = 732 ml-t kapunk.
Alternatív C
Források:
Dante, L. R. Matematika: kontextus és alkalmazások - Gimnázium. 3. szerk. Sao Paulo: Attika, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, J. Nem. Az elemi matematika alapjai, Vol 10: Spatial Geometry - Position and Metric. 7 ed. Santos: Aktuális, 2013.
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-tronco-de-cone.htm
