A identitásmátrix egy speciális fajtája központ. I. identitásmátrixként ismerjükn az n rendű négyzetmátrix, amelynek az átlóján lévő összes tag 1, és a főátlóhoz nem tartozó tagok értéke 0. Az identitásmátrixot a szorzás semleges elemének tekintjük, vagyis ha megszorozunk egy mátrixot M az identitásmátrix segítségével magát a mátrixot találjuk meg M.
Lásd még: Mi a mátrix meghatározója?
Összegzés az identitásmátrixról
Az identitásmátrix az a négyzetmátrix, amelynek főátlóján az elemek 1-gyel, a többi elem pedig 0-val egyenlő.
Különböző sorrendű identitásmátrixok léteznek. A sorrend identitásmátrixát képviseljük n által I n.
Az identitásmátrix a mátrixszorzás semleges eleme, azaz \( A\cdot I_n=A.\)
A négyzetes mátrix és az inverz mátrix szorzata az azonosságmátrix.
Mi az identitásmátrix?
Az identitásmátrix a speciális típusú négyzetmátrix. Egy négyzetes mátrixot identitásmátrixnak nevezünk, ha a főátlón minden eleme 1, a többi eleme pedig 0. Ezután minden identitásmátrixban:
➝ Identitásmátrix típusok
Különböző sorrendű identitásmátrixok léteznek. a megrendelés n képviseli az In. Nézzük meg az alábbiakban más rendelések mátrixait.
1. rendelési azonosító mátrix:
\(I_1=\bal[1\jobbra]\)
2. rendelési azonosító mátrix:
\(I_2=\left[\begin{mátrix}1&0\\0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
3. sorrend azonosító mátrix:
\(I_3=\left[\begin{mátrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
4. rendelési azonosító mátrix:
\(I_4=\left[\begin{mátrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
5. rendelési azonosító mátrix:
\(I_5=\left[\begin{mátrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
Egymás után különböző sorrendű identitásmátrixokat írhatunk.
Identitásmátrix tulajdonságai
Az identitásmátrixnak van egy fontos tulajdonsága, mivel a mátrixok közötti szorzás semleges eleme. Ez azt jelenti bármely mátrix az identitásmátrixszal szorozva egyenlő önmagával. Tehát adott az M mátrix sorrendje n,nekünk van:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Az identitásmátrix másik fontos tulajdonsága, hogy a négyzetmátrix szorzata és annak inverz mátrix az identitásmátrix. Adott egy M sorrendű négyzetmátrix n, M szorzata az inverzével a következőképpen adódik:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Olvasd el te is: Mi az a háromszögmátrix?
Az identitásmátrix szorzása
Amikor egy M mátrixot megszorozunk a sorrend azonossági mátrixával n, az M mátrixot kapjuk eredményül. Nézzünk alább egy példát a 2. rendű M mátrixnak a 2. rendű azonosságmátrixszal való szorzatára.
\(A\ =\ \left(\begin{mátrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{mátrix}\jobbra) \) Ez \(I_n=\left(\begin{mátrix}1&0\\0&1\\\end{mátrix}\jobbra)\)
Feltételezve, hogy:
\(A\cdot I_n=B\)
Nekünk van:
\(B\ =\left(\begin{mátrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{mátrix}\jobbra)\)
Tehát A szorzata \(Ban ben\) lesz:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Vegye figyelembe, hogy a B mátrix tagjai megegyeznek az A mátrix tagjaival, azaz:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Példa:
Lény M A Mátrix \(M=\ \left[\begin{mátrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{mátrix}\jobbra]\), számítsuk ki a mátrix közötti szorzatot M és a mátrix \(I_3\).
Felbontás:
A szorzást végrehajtva a következőket kapjuk:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{mátrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{mátrix}\jobbra]\cdot\left[\begin{mátrix}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{mátrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1 \ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\ cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{mátrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
Feladatokat oldott meg az identitásmátrixon
1. kérdés
Létezik egy 3-as rendű négyzetmátrix, amelyet a definiál \(a_{ij}=1 \) amikor \(i=j\) Ez \(a_{ij}=0\) Ez amikor \(i\neq j\). Ez a mátrix a következő:
A) \( \left[\begin{mátrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
B) \( \left[\begin{mátrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{mátrix}\jobbra]\)
W) \( \left[\begin{mátrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
D) \( \left[\begin{mátrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
ÉS) \( \left[\begin{mátrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
Felbontás:
Alternatíva D
A mátrix elemzése során a következőket kapjuk:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Tehát a mátrix egyenlő:
\(\left[\begin{mátrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
2. kérdés
(UEMG) Ha az inverz mátrix \(A=\left[\begin{mátrix}2&3\\3&x\\\end{mátrix}\jobbra]\) é \( \left[\begin{mátrix}5&-3\\-3&2\\\end{mátrix}\jobbra]\), x értéke:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Felbontás:
Alternatíva A
A mátrixokat megszorozva rájövünk, hogy szorzatuk megegyezik az identitásmátrixszal. Kiszámítjuk a mátrix második sorának szorzatát az inverze első oszlopával, a következőt kapjuk:
\(3\cdot5+x\cdot\left(-3\right)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm
