összeg és termék Ez egy módszer a megoldások megtalálására egyenlet. Az összeget és a szorzatot használjuk módszerként az a gyökeinek kiszámításához 2. fokú egyenlet, ax² + bx + c = 0 típusú.
Ez egy érdekes módszer, ha az egyenlet megoldásai egész számok. Azokban az esetekben, amikor a megoldások nem egészek, meglehetősen bonyolult lehet az összeg és a szorzat használata, más egyszerűbb módszerekkel az egyenlet megoldásait megtalálni.
Olvasd el te is: Bhaskara – a legismertebb képlet a másodfokú egyenletek megoldására
Összegzés az összegről és a termékről
- Az összeg és a szorzat a teljes másodfokú egyenlet megoldásainak megtalálásának egyik módszere.
- Az összegből és a szorzatból a 2. fokú ax² + bx + c = 0 egyenlet alapján a következőt kapjuk:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- x1 Ez x2 a másodfokú egyenlet megoldásai.
- a, b és c a 2. fokú egyenlet együtthatói.
Mi az összeg és a szorzat?
Az összeg és a szorzat az az egyik módszer, amellyel egy egyenlet megoldásait megtalálhatjuk. A 2. fokú egyenletekben az összeg és a szorzat praktikusabb módszer lehet a megoldások megtalálására. egyenlet, mert abból áll, hogy meg kell keresni azokat a számokat, amelyek kielégítik az adott összeget és szorzatképletet egyenlet.
Összeg és szorzatképlet
Egy ax² + bx + c = 0 típusú másodfokú egyenletben x megoldásokkal1 és x2, összeg és termék alapján a következőkkel rendelkezünk:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Hogyan számítsuk ki a gyökereket az összeg és a szorzat segítségével?
A megoldások megtalálásához először keressük meg azokat az egész számokat, amelyek szorzata egyenlő \(\frac{c}{a}\).
Tudjuk, hogy az egyenlet megoldásai lehetnek pozitívak vagy negatívak:
- Pozitív termék és pozitív összeg: mindkét gyök pozitív.
- Pozitív szorzat és negatív összeg: mindkét gyök negatív.
- Negatív szorzat és pozitív összeg: az egyik gyök pozitív, a másik negatív, a legnagyobb modullal rendelkező pedig pozitív.
- Negatív szorzat és negatív összeg: az egyik gyök pozitív, a másik negatív, a legnagyobb modullal rendelkező pedig negatív.
Később az egyenletet kielégítő termékek felsorolása után elemezzük, hogy melyik teljesíti az egyenletet. az összeg egyenlete, azaz melyik két szám teljesíti a szorzat és az összeg egyenletét egyidejűleg.
1. példa:
Keresse meg az egyenlet megoldásait:
\(x²-5x+6=0\)
Először behelyettesítjük az összeg- és szorzatképletbe. Azt kaptuk, hogy a = 1, b = -5 és c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
Mivel az összeg és a szorzat pozitív, a gyökerek pozitívak. A terméket elemezve tudjuk, hogy:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
Most megvizsgáljuk, hogy az eredmények közül melyiknek az összege egyenlő 5-tel, ami ebben az esetben:
\(2+3=5\)
Tehát ennek az egyenletnek a megoldásai \(x_1=2\ és\ x_2=3\).
2. példa:
Keresse meg az egyenlet megoldásait:
\(x^2+2x-24=0\ \)
Először behelyettesítjük az összeg és a szorzat képletébe. Van a = 1, b = 2 és c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
Mivel az összeg és a szorzat negatív, a gyökök ellentétes előjelűek, a legnagyobb modulusú pedig negatív. A terméket elemezve tudjuk, hogy:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\left(-12\right)=-24\)
\(3\cdot\left(-8\right)=-24\)
\(4\cdot\left(-6\right)=-24\)
Most nézzük meg, hogy az eredmények közül melyiknek egyenlő az összege -2, ami ebben az esetben:
\(4+\bal(-6\jobb)=-2\)
Tehát ennek az egyenletnek a megoldásai \(x_1=4\ és\ x_2=-6\) .
Olvasd el te is: Hogyan lehet megoldani egy nem teljes másodfokú egyenletet
Gyakorlatokat oldott meg az összegről és a szorzatról
1. kérdés
lenni y Ez z a 4-es egyenlet gyökereix2-3x-1=0, a 4(y+4)(z+4) é:
A) 75
B) 64
C) 32
D) 18
E) 16
Felbontás:
Alternatíva A
Számítás összeggel és szorzattal:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
Tehát nekünk kell:
\(4\bal (y+4\jobb)\bal (z+4\jobb)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\left (y+z\right)+16\right )\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ jobb)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+3+16\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+19\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(\frac{76-1}{4}\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\bal (y+4\jobb)\bal (z+4\jobb)=75\)
2. kérdés
Figyelembe véve az egyenletet 2x2 + 8x + 6 = 0, legyen S az egyenlet gyökeinek összege és P az egyenlet gyökeinek szorzata, akkor a művelet értéke (S-P)2 é:
A) 36
B) 49
C) 64
D) 81
E) 100
Felbontás:
B alternatíva
Számítás összeggel és szorzattal:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
Tehát nekünk kell:
\(\bal(-4-3\jobb)^2=\bal(-7\jobb)^2=49\)
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm