A körök tanulmányozása során fontos tanulmányozandó fogalom a kör érintő vonalai. A vizsgálat elvégzéséhez meg kell érteni egy pont relatív helyzetét egy körhöz viszonyítva. Ha még nem tanulmányozott valamit a témához kapcsolódóan, nézze meg a cikket Relatív pozíciók egy pont és egy kör között.
Megfigyelve egy pont helyzetét egy körrel kapcsolatban, következtethetünk néhány érintő vonallal kapcsolatos tényre. Ismeretes, hogy egy ponttól egy körig három relatív helyzet van. Ennek minden egyes helyzetére következtethetünk valamire az ezen a ponton áthaladó érintővonalról.
• Pont a kör belsejében: Ezen a ponton keresztül nem lehet érintőt húzni.
• A körhöz tartozó pont: ezen a ponton keresztül csak érintő vonalunk lehet, mivel ez az érintési pont.
• Pont a körön kívül: ettől a ponttól két vonalt érinthetünk, amelyek érintenek a kört.
Ezért ahhoz, hogy meghatározzuk a kör érintőjének egyenletét egy adott ponton keresztül, szükségszerűen meg kell határoznunk az adott pont relatív helyzetét. Ez a helyzet a ponttól a kör közepéig terjedő távolságtól függ.
Emlékeznünk kell néhány fontos tényre az analitikai geometriával kapcsolatban:
• A ponttól az egyenesig a legrövidebb távolság az erre a vonalra merőleges szakasz;
• Az érintő egyenes mindig merőleges lesz a sugárra annak érintési pontjában.
A két előző tény kapcsán kijelenthető, hogy az érintő vonal és a középpont közötti távolságnak meg kell egyeznie a sugárral.
Ezért az érintő vonal egyenletének meghatározásához elemeznünk kell a rajzolni kívánt pont helyzetét az egyeneshez, és ezzel kiszámítja az egyenes távolságát, amely tartalmazza ezt a pontot a középpontjához viszonyítva körméret.
E fogalmak jobb megértése érdekében olyan példákkal fogunk dolgozni, amelyekre ezekre a gondolatokra van szükség.
1) Határozza meg az adott kerületet érintő egyenes (ek) egyenletét a P pont által rajzolva.
a) egyenértékű kerülete: x2+ y2 - 6x - 8y = 0 P (0,0)
Ezzel kinyerhetjük a problémánkhoz szükséges információkat:
C (3,4), r = 5.
Most meg kell találnunk a P (0,0) pont relatív helyzetét:
Ezért a P pont az érintési pont.
Határozzuk meg a P ponton átmenő egyenes egyenletét
A vonal egyenletének tényleges meghatározásához még meg kell találnunk, mi ennek a vonalnak a meredeksége. Az egyik tény, amelyet a cikk elején láttunk, az érintő vonal merőlegessége volt a kör sugarára. A P pont érintési pont, ezért a P ponton és a középponton áthaladó egyenes meredekségének merőlegesnek kell lennie az érintőre. Ehhez kapcsolatunk van a merőleges lejtők között.
Más szavakkal, a merőleges vonalak lejtőinek szorzata egyenlő -1-vel.
A PC szegmens meredekségének meghatározásához a következő kifejezést kell használnunk:
Ezzel megkapjuk az érintő vonal egyenletét:
Az m értékének meghatározásának másik módja az lenne, ha kiszámítanánk a távolságot a középponttól az egyenesig. Ez a távolság megegyezik a sugárral. Lássuk:
Amikor a pont a körön kívül esik, meg kell találnunk az érintési pontot a kör középpontjától a érintő egyenes, így meghatározzuk az érintő egyenes szögegyütthatójának értékét, amely viszont meghatározza az egyenes egyenletét tangens.
Írta: Gabriel Alessandro de Oliveira
Matematikából végzett
Brazil iskolai csapat
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm