számolja ki a faktoriális egy számnak csak akkor van értelme, ha természetes számokkal dolgozunk. Ez a művelet meglehetősen gyakori kombinatorikus elemzés, megkönnyítve az elrendezések, a permutációk, a kombinációk és a számlálással járó egyéb problémák kiszámítását. A faktoriális az amelyet a „!” szimbólum képvisel. N-ként definiáljuk! (n faktoriális) a n szorzata minden elődjével amíg el nem éri az 1-et. nem! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
Olvassa el: A számlálás alapelve - a kombinatorikus elemzés fő koncepciója
Mi a faktoriális?
A Factorial nagyon fontos művelet a kombinatorikus elemzés tanulmányozása és fejlesztése szempontjából. A matematikában az a szám, amelyet a felkiáltójel (!) faktoriális néven ismert, például x! (x faktoriális).
Tényezőjeként ismerjük a természetes szám A megszorozva ezt a számot az elődeivel, nulla kivételévelazaz:
nem! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
Figyelemre méltó, hogy ennek a műveletnek van értelme, n természetes szám, vagyis nem számolunk negatív szám, sőt tizedes szám, vagy törtek tényezőjét.
faktoriális számítás
A szám faktoriális számának meghatározásához csak számítsa ki a szorzatot. Vegye figyelembe azt is, hogy a faktoriál egy olyan művelet, amely mikor növeli az n értékét, az eredmény is sokat fog növekedni.
Példák:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Definíció szerint:
0! = 1
1! = 1
Faktoriális műveletek
A tényezői műveletek megoldásához fontos, hogy vigyázzon, ne tegyen hibát. Amikor két faktorialt összeadunk, kivonunk vagy szorzunk, mindegyiket külön kell kiszámítani. Csak az osztálynak van konkrét módja az egyszerűsítések végrehajtására. Ne kövesse el azt a hibát, hogy végrehajtja a műveletet és megtartja a faktoriált, akár összeadáshoz és kivonáshoz, akár szorzáshoz.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Ezen műveletek bármelyikének megoldásakor ki kell számolnunk az egyes tényezőket.
Példák:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Lásd még: Hogyan lehet megoldani az egyenletet a faktoriálissal?
Faktoriális egyszerűsítés
A megosztások meglehetősen visszatérőek. Képleteiben kombináció, elrendezés és ismétléses permutáció, mindig egyszerűsítéshez folyamodunk a faktoriális problémákat megoldani. Ehhez kövessünk néhány lépést.
Példa:
1. lépés: azonosítsa a faktoriálisok közül a legnagyobbat - ebben az esetben ez 8! Most, ha megnézzük a nevezőt, ami 5!, akkor írjuk meg elődeinek szorzatát 8-mal, amíg el nem érünk 5-ig!
Az n szám faktoriálja, vagyis n!, átírható n szorzata k-nak! Így,
nem! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, tehát írjuk át a 8-at! mint a szorzás 8-ról 5-re !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Írjuk át tehát az okot:
2. lépés: miután átírta a ok, lehetséges a számláló egyszerűsítése a nevezővel, mivel 5! mind a számlálóban, mind a nevezőben van. Az egyszerűsítés után hajtsa végre a szorzást.
2. példa:
Kombinatorikus és faktoranalízis
A a kombinatorikus elemzés további tanulmányozása során mindig megjelenik egy szám faktoriálja. A kombinatorikus elemzés fő csoportosulásai, amelyek a permutáció, a kombináció és az elrendezés, a számok faktoriálisát használják képleteikben.
Permutáció
A permutáció és a a halmaz összes elemének átrendezése. A permutáció kiszámításához faktoriálishoz folyamodunk, mivel n elem permutációját kiszámítja:
Pnem = n!
Példa:
Mennyi anagrammák építhetünk HEITOR névvel?
Ez egy tipikus permutációs probléma. Mivel a névben 6 betű van, a lehetséges anagrammák számának kiszámításához egyszerűen számítsa ki a P értéket6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Hozzáférhet továbbá: Permutáció ismételt elemekkel: hogyan lehet megoldani?
Megállapodások
Kiszámítja megállapodások megköveteli egy szám faktoriáljának elsajátítását is. Az elrendezés, mint a permutáció, az átrendezés kialakulása. A különbség az, az elrendezésben a készlet egy részét átrendezzük, vagyis tudni akarjuk, hogy hány lehetséges újrarendezést alakíthatunk ki, ha az egyikből k mennyiséget választunk készlet n elemmel.
Példa:
Egy vállalatnál 6 jelölt van az intézmény irányítására, és kettőt választanak ki az igazgatói és az igazgatóhelyettesi posztokra. Tudva, hogy szavazással választják meg őket, hány lehetséges eredmény van?
Ebben az esetben kiszámoljuk a kettő 2-ről 2-re vett elrendezését, mivel két pályázóra 6 jelölt van.
Kombináció
A kombinációban, csakúgy, mint a többiben, el kell sajátítani egy szám faktoriálját. Kombinációként definiáljuk Ön halmaz részhalmazai. A különbség az, hogy a kombinációban nincs átrendezés, mert a sorrend nem fontos. Tehát kiszámoljuk, hogy hány elemet alkothatunk k elemből n elem halmazában.
Példa:
3 osztályból álló bizottságot választanak az osztály képviseletére. Tudva, hogy 5 jelölt van, hány bizottságot lehet létrehozni?
Olvassa el: Elrendezés vagy kombináció?
Gyakorlatok megoldva
1. kérdés - Számok tényezőjéről ítélje meg a következő állításokat.
ÉN). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Csak én vagyok igaz.
B) Csak a II igaz.
C) Csak a III igaz.
D) Csak az I. és a II.
E) Csak a II és II igaz.
Felbontás
A. alternatíva
I) Igaz.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Hamis.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Hamis.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
2. kérdés - (UFF) A termék 20 × 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 egyenértékű-e?
A) 20: 2
B) 2 · 10!
C) 20: 210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Felbontás
D. alternatíva
A 2 és 20 közötti páros szám szorzatát nézve tudjuk, hogy:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Tehát átírhatjuk 2-nek10 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár