A gömb alakú sapka és a geometriai szilárd akkor kapjuk meg, ha egy gömböt egy sík elfog, és két geometriai testre osztja. A gömbsapka kerek testnek számít, mert a gömbhöz hasonlóan lekerekített alakja van. A gömb alakú sapka területének és térfogatának kiszámításához speciális képleteket használunk.
Olvasd el te is: Kúptörzs – a kúp alja által kialakított geometriai szilárd test, amikor az alappal párhuzamos szakaszt készítünk
A cikk témái
- 1 - Összefoglalás a gömb alakú kupakon
- 2 - Mi az a gömbsapka?
- 3 - A gömbsapka elemei
- 4 - A gömb alakú kupak poliéder vagy kerek test?
- 5 - Hogyan kell kiszámítani a gömbsapka sugarát?
- 6 - Hogyan kell kiszámítani a gömbsapka területét?
- 7 - Hogyan kell kiszámítani a gömbsapka térfogatát?
- 8 - Megoldott gyakorlatok gömbsapkán
Összefoglaló a gömbsapkáról
- A gömbsapka egy geometriai szilárd anyag, amelyet akkor kapunk, ha a gömböt egy sík osztja.
- A gömbsapka fő elemei a gömb sugara, a gömbsapka sugara és a gömbsapka magassága.
- A gömb alakú kupak nem poliéder, hanem kerek test.
- Ha a sík kettéosztja a gömböt, akkor a gömbsapka félgömböt alkot.
- A gömbsapka sugarát a Pitagorasz-tétel segítségével lehet kiszámítani, a következőképpen szervezve:
\(\bal (R-h\jobb)^2+r^2=R^2\)
- A gömbsapka területe a következő képlettel számítható ki:
\(A=2\pi rh\ \)
- A gömbsapka térfogata a következő képlettel számítható ki:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
Ne hagyd abba most... A nyilvánosság után van még valami ;)
Mi az a gömbsapka?
gömb alakú sapka az a geometriai test, amelyet akkor kapunk, ha a labda gyakori lakás. Amikor a gömböt síkkal vágjuk, ezt a gömböt két gömbsapkára osztjuk. Amikor a gömböt kettéosztjuk, a gömb alakú sapkát félgömbnek nevezzük.
Gömb alakú sapkaelemek
A gömbsapkában a fő elemek a gömb sugara, a gömbsapka sugara és a gömbsapka magassága.
- R → a gömb sugara.
- r → a gömbsapka sugara.
- h → a gömbsapka magassága.
A gömb alakú kupak poliéder vagy kerek test?
Láthatjuk, hogy a kupak geometriai szilárdtest. Mivel kör alakú alappal és lekerekített felülettel rendelkezik, a gömb alakú sapkát a kerek test, amelyet a forradalom szilárdjaként is ismernek. Érdemes megemlíteni, hogy a poliéder által alkotott arcokkal rendelkezik sokszögek, ami nem a gömbsapka esetében, amelynek alapja a kör.
Hogyan kell kiszámítani a gömbsapka sugarát?
A gömbsapka sugárhosszának kiszámításához tudni kell a gömbsapka h magasságának hosszát és a gömb R sugarának hosszát, mert ahogy az alábbi képen is láthatjuk, pitagorasz kapcsolat van.
Vegye figyelembe, hogy van a derékszögű háromszög, az OO’B háromszög, R méretű hipotenúzával és R – h és r méretű lábakkal. Alkalmazása a Pitagorasz tétel, Nekünk kell:
\(\bal (R-h\jobb)^2+r^2=R^2\)
Példa:
Mekkora a gömb alakú sapka sugara, amelynek magassága 2 cm, ha a gömb sugara 5 cm?
Felbontás:
A Pitagorasz-reláció alkalmazása:
\(\bal (R-h\jobb)^2+r^2=R^2\)
\(\bal (5-2\jobb)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Hogyan kell kiszámítani a gömb alakú sapka területét?
A gömb alakú sapka területének kiszámításához ismerni kell a gömb R sugarának hosszát és a sapka h magasságát. A felület kiszámításához használt képlet a következő:
\(A=2\pi Rh\)
- R → a gömb sugara.
- h → a gömbsapka magassága.
Példa:
Egy 6 cm sugarú és 4 cm magas gömbből gömb alakú sapkát kaptunk. Tehát mekkora ennek a gömb alakú sapkának a felülete?
Felbontás:
A gömbsapka területének kiszámításával a következőket kapjuk:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Hogyan kell kiszámítani a gömb alakú kupak térfogatát?
A gömbsapka térfogata kétféleképpen számolható. Az első képlet a gömb R sugarától és a h magasságától függ:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
Példa:
Mekkora térfogatú egy gömb alakú sapka, amelyet egy 8 cm sugarú gömbből kapunk, amelynek a gömbsapka magassága 6 cm?
Felbontás:
Mivel ismerjük R és h értékét, az első képletet fogjuk használni.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\left (24-6\right)\)
\(V=12\pi\bal (18\jobb)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
A másik gömbsapka térfogati képlete figyelembe veszi a gömbsapka r sugarát és a kupak h magasságát:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\jobb)\)
Példa:
Mekkora a gömb alakú sapka térfogata, amelynek sugara 10 cm, magassága 4 cm?
Felbontás:
Ebben az esetben r = 10 cm és h = 4 cm. Mivel ismerjük a gömbsapka sugarának és a magasságának értékét, a második képletet fogjuk használni:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\jobb)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\jobbra)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\bal (300+16\jobb)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\right)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\kb. 210,7\ \pi\ cm³\)
Lásd még: Piramistörzs – a keresztmetszet felvételekor a piramis alja által alkotott geometriai szilárdtest
Megoldott gyakorlatok gömbsapkán
1. kérdés
(Enem) A gyerekasztal díszítéséhez egy 10 cm átmérőjű, gömb alakú dinnyét használ a szakács, amely támaszként szolgál különféle édességek felnyársalásához. Az ábrán látható módon eltávolítja a dinnyéről egy gömb alakú kupakot, és a támasz stabilitásának garantálása érdekében megnehezítve a dinnye gördülését az asztalon, a szakács úgy vágja, hogy a kör alakú vágási rész r sugara legalább legyen mínusz 3 cm. Másrészt a főnök azt akarja majd, hogy a lehető legtöbb terület legyen abban a régióban, ahol az édességeket kifüggesztik.
Minden céljának elérése érdekében a séfnek le kell vágnia a dinnye tetejét h magasságban, centiméterben, ami egyenlő
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
Felbontás:
Alternatív C
Tudjuk, hogy a gömb átmérője 10 cm, tehát a sugara 5 cm, tehát OB = 5 cm.
Ha a szelvény sugara pontosan 3 cm, akkor:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25-9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Ebből adódóan:
h + 4 = 5
h = 5-4
h = 1
2. kérdés
Egy gömb alakú sapka területe 144π cm². Tudva, hogy sugara 9 cm, ennek a gömb alakú sapkának a magassága:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 22 cm
Felbontás:
Alternatíva A
Tudjuk:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=ó\)
Magassága 8 cm.
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Szeretne hivatkozni erre a szövegre egy iskolai vagy tudományos munkában? Néz:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Gömb alakú sapka"; Brazil iskola. Elérhető: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm. Hozzáférés dátuma: 2023. július 20.
Kattintson ide, és tudjon meg mindent a hengerről, egy geometriai testről, amely nagyon jelen van mindennapi életünkben. Tanuld meg a képleteiket, és tanuld meg mindegyiket használni!
Ismerje meg, mi a kúp, hogyan kell kiszámítani a teljes területét és térfogatát, valamint főbb osztályozásait, és meghatározhatja ennek a szilárd anyagnak a síkságát.
Kattintson ide, és megtudja, mik azok a kerek testek. Ismerje jellemzőit és képleteit. Ismerje meg a különbséget a kerek test és a poliéder között.
Kattintson ide, hogy jobban megértse egy gömb elemeit, és megtanulja, hogyan végezzen számításokat ezen elemek felhasználásával!
Tudja, mi a gömb, és melyek azok az elemek, amelyek alkotják. Tanulja meg kiszámítani ennek a geometriai szilárd testnek a térfogatát és teljes területét, és oldja meg a gyakorlatokat.
Ismerje meg, hogyan kell kiszámítani a gömb térfogatát. Olvasson erről a geometriai testről és képleteiről.
Kínos
Az angolból átvett szleng arra szolgál, hogy megjelöljön valakit, akit csicsásnak, szégyenteljesnek, elavultnak és divatjamúltnak tartanak.
Neurodiverzitás
Judy Singer által alkotott kifejezést az emberi elme viselkedésének sokféleségének leírására használják.
PL of Fake News
A PL2660 néven is ismert törvényjavaslat, amely mechanizmusokat hoz létre a közösségi hálózatok szabályozására Brazíliában.
