A tangens (rövidítve tg vagy tan) az a trigonometrikus függvény. Egy szög érintőjének meghatározásához különböző stratégiákat alkalmazhatunk: számítsuk ki a szög szinuszának és koszinuszának arányát, ha ismertek; használjon érintőtáblát vagy számológépet; számítsa ki a szemközti és a szomszédos láb arányát, ha a kérdéses szög többek között egy derékszögű háromszög belső (éles) szöge.
Olvasd el te is: Mire használják a trigonometrikus kört?
A cikk témái
- 1 - Összegzés az érintőről
- 2 - Szög érintője
- 3 - Figyelemre méltó szögek érintője
-
4 - Hogyan számítsuk ki az érintőt?
- → Az érintőfüggvény grafikonja
- 5 - Az érintők törvénye
- 6 - Trigonometrikus arányok
- 7 - Tangensen megoldott gyakorlatok
összefoglaló az érintőről
Az érintő egy trigonometrikus függvény.
A derékszögű háromszög belső szögének érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya.
Bármely szög érintője az adott szög szinuszának és koszinuszának aránya.
A funkció \(f (x)=tg\ x\) szögekre van meghatározva x radiánban kifejezve úgy, hogy cos \(cos\ x≠0\).
Az érintőfüggvény grafikonja az értékek függőleges aszimptotáit mutatja, ahol \(x= \frac{π}2+kπ\), val vel k egész, mint \(x=-\frac{π}2\).
Az érintők törvénye egy olyan kifejezés, amely bármely háromszögben két szög érintőit és a szögekkel szemközti oldalakat társítja.
Szög érintője
Ha α egy szög belső a derékszögű háromszög, az α érintője a szemközti láb hosszának és a szomszédos láb hosszának aránya:
Bármely α szög esetén az érintő az α sin és az α koszinuszának aránya, ahol \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Meg kell jegyezni, hogy ha α egy szög az 1. vagy 3. negyedben, az érintő pozitív előjelű lesz; de ha α a 2. vagy 4. kvadráns szöge, az érintő negatív előjelű lesz. Ez a kapcsolat közvetlenül az egyes α szinusz és koszinusz előjelei közötti előjelszabályból következik.
Fontos: Vegye figyelembe, hogy az érintő nem létezik α ahol értékeihez \(cos\ α=0\). Ez történik 90°, 270°, 450°, 630° és így tovább. A szögek általános ábrázolásához radián jelölést használunk: \(\frac{ π}2+kπ\), val vel k egész.
Ne hagyd abba most... A nyilvánosság után van még valami ;)
Figyelemre méltó szögek érintője
A kifejezés használatával \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), megkereshetjük az érintőit figyelemre méltó szögek, amelyek a 30°, 45° és 60° szögei:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1 }{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Érdekes: Ezeken kívül elemezhetjük a szintén széles körben használt 0° és 90° szögek érintőértékeit. Mivel sin 0° = 0, arra a következtetésre jutunk, hogy tan 0° = 0. A 90°-os szögnél, mivel cos90° = 0, az érintő nem létezik.
Hogyan kell kiszámítani az érintőt?
Az érintő kiszámításához a tg α=sin αcos α képletet használjuk, amelyet bármely szög érintőjének kiszámításához használunk. Nézzünk néhány példát alább.
1. példa
Keresse meg az alábbi derékszögű háromszögben az α szög érintőjét!
Felbontás:
Az α szöget tekintve a 6. mérték oldala a szemközti oldal, a 8. mérték oldala pedig a szomszédos oldal. Mint ez:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
2. példa
Ennek tudatában \(sin\ 35°≈0,573\) és cos\(35°≈0,819\), keresse meg a 35°-os érintő hozzávetőleges értékét.
Felbontás:
Mivel egy szög érintője a szög szinuszának és koszinuszának az aránya, a következőket kapjuk:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
érintő függvény
Az fx=tg x függvény szögekre van definiálva x radiánban kifejezve, tehát \(cos\ x≠0\). Ez azt jelenti, hogy az érintőfüggvény tartományát a következőképpen fejezzük ki:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Továbbá minden valós számok az érintőfüggvény képe.
→ Az érintőfüggvény grafikonja
Vegye figyelembe, hogy az érintőfüggvény grafikonja függőleges aszimptotákkal rendelkezik a hol értékekhez \(x= \frac{π}2+kπ\), val vel k egész, mint \(x=-\frac{π}2\). Ezekhez az értékekhez x, az érintő nincs definiálva (azaz az érintő nem létezik).
Lásd még: Mi az a domain, tartomány és kép?
érintők törvénye
Az érintők törvénye a kifejezés, amely asszociál, az a háromszög bármelyik, két szög érintője és az ezekkel a szögekkel szemközti oldalak. Vegyük például az alábbi ABC háromszög α és β szögeit. Figyeljük meg, hogy a CB = a oldal az α szöggel, az AC = b oldal pedig a β szöggel ellentétes.
Az érintők törvénye kimondja, hogy:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\ )
trigonometrikus arányok
Hoz trigonometrikus arányok a derékszögű háromszögön megmunkált trigonometrikus függvények. Ezeket az arányokat az ilyen típusú háromszög oldalai és szögei közötti összefüggésekként értelmezzük.
Tangensen megoldott gyakorlatok
1. kérdés
Legyen θ a második kvadránsnak olyan szöge, hogy sin\(sin\ θ≈0,978\), tehát tgθ hozzávetőlegesen:
A) -4,688
B) 4,688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Felbontás
Alternatíva A
ha \(sin\ θ≈0,978\), akkor a trigonometria alapvető azonosságát használva:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Mivel θ a második kvadráns szöge, akkor a cosθ negatív, ezért:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Hamar:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
2. kérdés
Tekintsünk egy ABC derékszögű háromszöget, amelynek lábai AB = 3 cm és AC = 4 cm. A B szög érintője:
A) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
ÉS) \(\frac{5}3\)
Felbontás:
Alternatív C
A kijelentés szerint a szöggel ellentétes láb \(\kalap{B}\) az AC 4 cm-es és a szöggel szomszédos láb \(\kalap{B}\) AB, mérete 3 cm. Mint ez:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Írta: Maria Luiza Alves Rizzo
Matematika tanár
Tanulja meg, hogyan kell megépíteni a trigonometrikus kört, azon túl, hogy megérti, hogyan működik az első kvadránsra való redukció, és hogyan lehet ezen keresztül tanulmányozni a trigonometriát.
Ismerje a trigonometrikus szinusz, koszinusz és érintő függvényeket. Ismerje meg az egyes trigonometrikus függvények grafikonját. Tekintse meg ezeknek a funkcióknak a jellemzőit.
radián, szög, fok, kerület, ív, kerületi ív, fok-radián transzformáció, definíció radián, szögmérték, ívmérték, kerülethossz radiánban, hossza körméret.
Nézze meg, hogyan számíthatja ki egy szög szinuszának, koszinuszának és tangensének értékét, és tanulja meg, hogy melyik arányt kell használni egy problémahelyzetben.
Ismerje meg, mit tanul a trigonometria. Tudja, melyek a fő trigonometrikus azonosságok és függvények, és tudja, hogyan kell alkalmazni a trigonometriát.
Ismerje meg a derékszögű háromszög sajátosságait, és tanulja meg kiszámítani a területét és kerületét. Nézze meg azt is, hogyan alkalmazható rá a trigonometria.
Kattintson, és tanulja meg, melyek a trigonometria figyelemre méltó szögei, és megtudja, hogyan találhatja meg a szinusz-, koszinusz- és érintőértéküket.
