Gömb térfogata: hogyan kell kiszámítani?

O gömb térfogata az általa elfoglalt hely geometriai szilárd. A sugarán keresztül labda — vagyis a középpont és a felület távolságából — ki lehet számítani a térfogatát.

Olvasd el te is: Geometriai testek térfogata

A cikk témái

1 - Összefoglaló a gömb térfogatáról
2 - Videó lecke a gömb térfogatáról
3 - Mi az a gömb?
4 - A gömb térfogatának képlete
5 - Hogyan kell kiszámítani a gömb térfogatát?
6 - A gömb régiói
7 - Egyéb gömbképletek
8 - Megoldott gyakorlatok a gömb térfogatára

Összegzés a gömb térfogatáról

A gömb a kerek test az átmérőt tartalmazó tengely körüli félkör felforgatásával kapott.
A gömb minden pontja r-vel egyenlő vagy kisebb távolságra van a gömb középpontjától.
A gömb térfogata a sugár mértékétől függ.
A gömb térfogatának képlete a \(V=\frac{4·π·r^3}3\)

Videó lecke a gömb térfogatáról

Mi az a gömb?

Tekintsünk egy O pontot a térben és egy r mértékû szakaszt. a gömb az szilárdtest, amelyet minden olyan pont alkot, amelyek O-tól egyenlő vagy annál kisebb távolságra vannak. O-t a gömb középpontjának, r-t pedig a gömb sugarának nevezzük.

instagram story viewer

a gömb a forradalom szilárdjaként is jellemezhető. Vegye figyelembe, hogy egy félkört az átmérőjét tartalmazó tengely körül elforgatva gömb keletkezik:

Félkör gömb alakú forgásának ábrázolása.

Gömb térfogat képlete

Egy gömb V térfogatának kiszámításához az alábbi képletet használjuk, ahol r a gömb sugara:

\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)

Fontos megfigyelni a mértékegység sugár a térfogat mértékegységének meghatározásához. Például, ha r cm-ben van megadva, akkor a térfogatot cm³-ben kell megadni.

Ne hagyd abba most... A nyilvánosság után van még valami ;)

Hogyan kell kiszámítani a gömb térfogatát?

A gömb térfogatának kiszámítása csak a sugár mérésétől függ. Nézzünk egy példát.

Példa: π = 3 közelítéssel keresse meg egy 24 centiméter átmérőjű kosárlabda térfogatát.

Mivel az átmérő kétszerese a sugárnak, r = 12 cm. A gömb térfogatának képletét alkalmazva megvan

\(V=\frac{4·π·12^3}3\)

\(V=\frac{4 · π·1728}3\)

\(V=6 912\ cm^3\)

szféra régiói

Tekintsünk egy gömböt, amelynek középpontja O és sugara r. Mint ez, három régiót vehetünk figyelembe ebből a szférából:

A belső régiót azok a pontok alkotják, amelyek távolsága a középponttól kisebb, mint a sugár. Ha P a gömb belső tartományába tartozik, akkor

\(D(P, O)

A felületi régiót azok a pontok alkotják, amelyek távolsága a középponttól egyenlő a sugárral. Ha P a gömb felületi tartományába tartozik, akkor

\(D(P, O)=r\)

A külső régiót azok a pontok alkotják, amelyek távolsága a középponttól nagyobb, mint a sugár. Ha P a gömb belső tartományába tartozik, akkor

\(D(P, O)>r\)

Következésképpen a gömb külső területén lévő pontok nem tartoznak a gömbhöz.

Többet tud: Gömb alakú sapka – szilárd test, amelyet akkor kapunk, amikor a gömböt egy sík metszi

Egyéb gömbképletek

A gömb terület — vagyis felületének mérése — szintén ismert képlete van. Ha r a gömb sugara, akkor az A területét a következőképpen számítjuk ki

\(A=4·π·r^2\)

Ebben az esetben is fontos megjegyezni a sugár mértékegységét, hogy jelezze a terület mértékegységét. Például, ha r értéke cm, akkor A-t cm²-ben kell megadni.

Gyakorlatokat megoldott a gömb térfogatára

1. kérdés

Mekkora a gömb sugara, amelynek térfogata 108 köbcentiméter? (Használja a π = 3-at).

a) 2 cm

b) 3 cm

c) 4 cm

d) 5 cm

e) 6 cm

Felbontás

B alternatíva.

Gondold ezt meg r a gömb sugara. Tudva, hogy V = 108, használhatjuk a gömb térfogatának képletét:

\(V=\frac{4·π·r^3}3\)

\(108=\frac{4·3·r^3}3\)

\(108=4·r^3\)

\(r^3=27\)

\(r = 3\ cm\)

2. kérdés

Egy ősi gömb alakú tározó 20 méter átmérőjű és V térfogatú₁. Egy második, V térfogatú tározót kívánnak építeni₂, kétszer akkora térfogattal, mint a régi tározó. Szóval, V₂ ez ugyanaz, mint

A) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)

B) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)

w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)

d) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)

Ez) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)

Felbontás

E alternatíva.

Mivel az átmérő kétszerese a sugárnak, a régi tározó sugara r = 10 méter. Ebből adódóan

\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)

\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)

\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)

A nyilatkozat szerint \(V_2=2·V_1\), azaz

\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)

Írta: Maria Luiza Alves Rizzo
Matematika tanár

Szeretne hivatkozni erre a szövegre egy iskolai vagy tudományos munkában? Néz:

RIZZO, Maria Luiza Alves. "Gömb térfogat"; Brazil iskola. Elérhető: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm. Hozzáférés dátuma: 2023. július 18.

Kattintson ide, megtudja, mi az a gömbsapka, megtudja, mik a fő elemei, és megtanulják kiszámítani a területét és térfogatát.

Kattintson ide, és megtudja, mik azok a kerek testek. Ismerje jellemzőit és képleteit. Ismerje meg a különbséget a kerek test és a poliéder között.

Ismerje meg a lapos és a térbeli alakzatok közötti főbb különbségeket, és értse meg, hogy a méretek száma hogyan határozza meg ezeket a geometriai elemeket.

Kattintson ide, hogy jobban megértse egy gömb elemeit, és megtanulja, hogyan végezzen számításokat ezen elemek felhasználásával!

Tudja, mi a gömb, és melyek azok az elemek, amelyek alkotják. Tanulja meg kiszámítani ennek a geometriai szilárd testnek a térfogatát és teljes területét, és oldja meg a gyakorlatokat.

Ismerje meg a fő geometriai formákat. Értsd meg, mi a sokszög és mi a poliéder. Tudja meg azt is, mik azok a fraktálok, és oldja meg a javasolt gyakorlatokat.

Kattintson és tanulja meg, mik azok a geometriai testek, és nézze meg, hogyan sorolható ezeknek a háromdimenziós geometriai alakzatoknak a halmaza poliéderekbe, kerek testekbe és egyebekbe. Tekintse meg a poliéderek és a kerek testek alosztályozását is, és tekintsen meg példákat ezekre a geometriai testekre. Kattints és tanulj!

Számítsa ki a geometriai testek térfogatát! Ismerje meg a képletet az egyes fő geometriai testek térfogatának kiszámításához. Lásd ezeknek a képleteknek az alkalmazásait.