A arány aranysárga vagy az isteni arány a harmónia, a szépség és a tökéletesség eszméihez kapcsolódó egyenlőség. Alexandriai Euklidész, görög matematikus, aki ie 300 körül élt. C. volt az egyik első gondolkodó, aki formalizálta ezt a koncepciót, amely a mai napig izgatja a különböző területek kutatóit.
Ennek az érdeklődésnek az az oka, hogy az aranymetszés megközelítőleg megfigyelhető a természetben, így a növények magjában, levelében és az emberi szervezetben is. Következésképpen az aranymetszés különböző szakemberek – például biológusok, építészek, művészek és tervezők – tanulmányozásának tárgya.
Olvasd el te is: A pi szám – a matematika egyik legfontosabb állandója
Összegzés az aranymetszésről
Az aranymetszés az arány \(a>b>0\) oly módon, hogy
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Ilyen körülmények között az ok AB aranymetszésnek nevezik.
Az aranymetszés az egyensúly, a tisztaság és a tökéletesség fogalmaihoz kapcsolódik.
A görög ϕ (olvasható: fi) betű az arany számot jelöli, amely az aranymetszésből kapott állandó.
A Fibonacci-sorozatban az egyes tagok és elődje közötti hányadosok megközelítik az arany számot.
Az arany téglalap olyan téglalap, amelynek oldalai aranymetszetűek.
Mi az aranymetszés?
Tekintsünk egy vonalszakaszt két részre: a nagyobb mértékegységre A és a legkisebb B. rájöttem a+b a teljes szegmens mértéke.
az aranymetszés egyenlőség az okok között\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) Ez \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), azaz
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Ebben az összefüggésben azt mondjuk A Ez B aranymetszésben vannak.
De milyen értékekért A Ez B megvan az aranymetszés? Ezt majd meglátjuk legközelebb.
Hogyan kell kiszámítani az arany számot?
Az OK \(\frac{a}b\)(vagy hasonlóképpen az OK \(\frac{a+b}a\)) egy arany számnak nevezett állandót eredményez és a görög ϕ betű képviseli. Így általános az írás
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Az aranyszám kiszámításához vegyük figyelembe b = 1 aranymetszését. Így könnyen megtalálhatjuk az értékét A és kap ϕ-t egyenlőségtől \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Figyeljük meg, hogy az aranymetszetet a következőképpen írhatjuk fel a keresztszorzás tulajdonság használatával:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Behelyettesítve b = 1-et, megvan
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Bhaskara képletének alkalmazása erre a másodfokú egyenletre azt a következtetést vonjuk le, hogy a pozitív megoldása A é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Mint A egy szegmens mértéke, akkor figyelmen kívül hagyjuk a negatív megoldást.
Szóval hogyan \(\frac{a}b=ϕ\), Az arany szám pontos értéke:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
A hányadost kiszámítva azt kapjuk Az arany szám hozzávetőleges értéke:
\(ϕ≈1,618033989\)
Lásd még: Hogyan lehet matematikai műveleteket megoldani törtekkel?
Arany arány és a Fibonacci-szekvencia
A A Fibonacci sorozat egy számlista ahol minden tag a harmadiktól kezdve egyenlő a két előd összegével. Nézzük ennek a sorozatnak az első tíz tagját:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Ahogy kiszámoljuk a hányadost az egyes kifejezések és a Fibonacci-szekvencia elődje között, közeledünk az arany számhoz ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Aranymetszés és az arany téglalap
Egy téglalap ahol a leghosszabb oldal A és a kisebbik oldal B aranymetszésben vannak arany téglalapnak hívják. Az arany téglalapra példa egy téglalap, amelynek oldalai 1 cm-esek és \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Többet tud: Mik azok a közvetlenül arányos mennyiségek?
Az aranymetszés alkalmazásai
Megjegyzendő, hogy eddig csak elvont matematikai összefüggésekben tanulmányoztuk az aranymetszést. Ezután néhány alkalmazott példát fogunk látni, de óvatosságra van szükség: az aranymetszés egyik esetben sem kerül pontosan bemutatásra. Léteznek különböző összefüggések elemzései, amelyekben az arany szám úgy jelenik meghozzávetőleges.
Arany arány az építészetben
Egyes tanulmányok azt állítják, hogy az arany számát az egyiptomi Kheopsz piramis és a New York-i ENSZ-székház épületének bizonyos méretarányaiban becsülik.
Arany arány az emberi szervezetben
Az emberi test mérete személyenként változik, és nincs tökéletes testtípus. Legalábbis az ókori Görögország óta azonban viták folynak a matematikailag ideális (és a valóságban teljesen elérhetetlen) testről, amelynek mérései az aranymetszethez kapcsolódnak. Ebben az elméleti kontextusban pl. az ember magasságának és a köldöke és a talaj közötti távolság aránya lenne az aranyszám.
aranymetszés a művészetben
Kutatások folynak az olasz Leonardo da Vinci „The Vitruvian Man” és „Mona Lisa” című műveiről, amelyek azt sugallják, arany téglalapok használata.
Aranymetszés a természetben
Vannak tanulmányok, amelyek rámutatnak a kapcsolat az aranymetszés és az egyes növények leveleinek eloszlása között egy száron. A levelek ilyen elrendezését filotaxisnak nevezik.
Arany arány a tervezésben
Az aranymetszés a tervezés területén is tanulmányozott és használatos, mint a projekt összeállítási eszköz.
Aranymetszésen megoldott gyakorlatok
1. kérdés
(Enem) Egy vonalszakasz aranymetszetben két részre oszlik, ha az egész az egyik részhez ugyanolyan arányban áll, mint ez a rész a másikhoz. Ezt az arányossági állandót általában a görög ϕ betűvel ábrázolják, értékét pedig a ϕ2 = ϕ+1 egyenlet pozitív megoldása adja meg.
Akárcsak az erő \(ϕ^2\), ϕ magasabb hatványai a formában fejezhetők ki \(aϕ+b\), ahol a és b pozitív egész számok, a táblázat szerint.
a potencia \(ϕ^7\), aϕ+b formában írva (a és b pozitív egész számok), az
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Felbontás
Mint \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Nekünk kell
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Az elosztó alkalmazása,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Mint \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternatíva.
2. kérdés
Értékeljen minden alábbi, az arany számra vonatkozó állítást T (igaz) vagy F (hamis) értékre.
én. A ϕ arany szám irracionális.
II. Az egyes tagok és a Fibonacci-sorozat elődje közötti hányadosok megközelítik a ϕ értékét.
III. 1,618 a ϕ arany szám három tizedesjegyre való kerekítése.
A helyes sorrend fentről lefelé a következő
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Felbontás
én. Igaz.
II. Igaz.
III. Igaz.
Alternatíva A.
Források
FRANCISCO, S.V. L. A bűvölet és az aranymetszés valósága között. Disszertáció (Matematika professzionális mesterfokozata a nemzeti hálózatban) – Biotudományok, Irodalmak és Pontos Tudományok Intézete, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Elérhető: http://hdl.handle.net/11449/148903.
SALES, J. S-től A természetben jelenlévő aranymetszés. Tanfolyami munka elvégzése (matematika diplomája), Piauí Szövetségi Oktatási, Tudományos és Technológiai Intézete. Piauí, 2022. Elérhető http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Írta: Maria Luiza Alves Rizzo
Matematika tanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
