O apotém A sokszög egy olyan szakasz, amelynek végpontjai a sokszög közepén és az egyik oldal felezőpontjában vannak. Ez a szakasz 90°-os szöget zár be a sokszög megfelelő oldalával.
Az apotém mértékének kiszámításához figyelembe kell venni a szóban forgó sokszög jellemzőit. A geometriai alakzattól függően lehetséges egy képlet összeállítása ennek a mérésnek az eléréséhez. Fontos megfigyelés, hogy egy szabályos sokszög apotémjének mértéke megegyezik a sokszögbe írt kerület sugarának mértékével.
Olvasd el te is: Mi az a felező?
Összegzés az apotémről
Az apotém egy sokszög szakasza, amely összeköti a középpontot (a merőleges felezők találkozási pontját) az egyik oldal felezőpontjával.
Az apotém és a sokszög megfelelő oldala közötti szög 90°.
Egy szabályos sokszög apotémjének mértéke megegyezik a sokszögbe írt kör sugarának mértékével.
Egy egyenlő oldalú háromszög OM apotémája l képlet adja meg
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Az oldal négyzetének OM apotémája l képlet adja meg
\(OM = \frac{l}2\)
Egy szabályos hatszög apotémája az egyik oldalon l képlet adja meg
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
A piramis apotémája az a szakasz, amely a csúcsot az alap egyik élének felezőpontjához köti, és ennek mértékét a Pitagorasz-tétellel kaphatjuk meg.
Példák az apotémra
Egy sokszög apotémjének megtalálásához meg kell alkotnunk a a sokszög középpontját az egyik oldal felezőpontjával összekötő vonalszakasz. Ne feledje, hogy a sokszög középpontja az a hely, ahol a felezők találkoznak.
Ezekben a példákban az apotémet sík sokszögekben vettük figyelembe. Van azonban egy űrobjektum, amelynek másfajta apotémája van: a piramis.
Egy piramisban kétféle apotém létezik: az alap apotémja, amely a piramis alapját képező sokszög apotémja, és a piramis apotémja, amely a szegmens, amely a csúcsot egy alapél felezőpontjához köti (azaz az alap oldallapjának magassága). piramis).
Az alábbi négyzetes alappéldában az OM szakasz az alap apotémája, a VM szakasz pedig a piramis apotémája, ahol M a BC felezőpontja.
Mik az apotém képletei?
A sokszög jellemzőinek, különösen a szabályos sokszögek ismeretében képleteket dolgozhatunk ki az apotém mértékének kiszámítására. Nézzük meg, melyek ezek a képletek a fő szabályos sokszögekre.
Egyenlő oldalú háromszög apotém formula
A egyenlő oldalú háromszög eset, az adott oldalhoz viszonyított magasság és medián megegyezik. Ez azt jelenti, hogy a sokszög középpontja egybeesik a barycenter a háromszögből. Így az O pont a következőképpen osztja fel az AM magasságot:
\(AO = \frac{2}3:00\) Ez \(OM=\frac{1}3:00\)
Ne feledje, hogy az intézkedés egyenlő oldalú háromszög magassága l által adva:
\(Magasság\háromszög\ egyenlő oldalú=\frac{l\sqrt3}2\)
Ezért, mivel AM az ABC egyenlő oldalú háromszög magassága és az OM szakasz a háromszög apotémja, az OM mértékére a következő kifejezést dolgozhatjuk ki, figyelembe véve, hogy a háromszög oldala méri l:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
A Square Formula apotémája
A tér esetében az apotém mértéke az oldalhossz felének felel meg. Így, ha O a négyzet középpontja, M az egyik oldal felezőpontja, és l a négyzet oldalának hossza, tehát az OM apotém képlete a következő
\(OM=\frac{l}2\)
Szabályos hatszög apothem formula
A szabályos hatszögben az apotém egy egyenlő oldalú háromszög magasságának felel meg, amelynek csúcsai az egyik oldal két végén és a sokszög közepén vannak. Az alábbi példában a szabályos hatszög OM apotémája az OCD egyenlő oldalú háromszög magassága, ahol M a CD felezőpontja.
Mint korábban említettük, egy egyenlő oldalú háromszög magassága ismert. Így ha egy szabályos hatszög oldala mér l, akkor az OM apotém képlete az
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Piramis Apothem képlet
A piramis apotémjének mértékét a Pitagorasz-tétel segítség. Az alábbi példában egy négyzet alakú piramisban a VOM háromszög egy téglalap, amelynek lábai VO és OM, valamint VM hipoténusz. Jegyezzük meg, hogy VO a piramis magassága, OM az alap apotémája, VM pedig a piramis apotémája.
Így a piramis apotémjének mértékének meghatározásához a Pitagorasz-tételt kell alkalmaznunk:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Óvatos! A VM egy egyenlő szárú háromszög magassága, nem egy egyenlő oldalú háromszög. Tehát ebben az esetben nem használhatjuk az egyenlő oldalú háromszög magasságának képletét.
Hogyan számítják ki az apotémet?
Egy sokszög vagy a gúla apotémjének kiszámításához használhatjuk a megszerkesztett képleteket, vagy társíthatjuk az apotémet a beírt kör sugarához.
1. példa: Tegyük fel, hogy egy egyenlő oldalú háromszögbe egy 3 cm sugarú kör van beírva. Mi ennek a háromszögnek a mértéke?
Mivel egy sokszög apotémje megegyezik a beírt kör sugarával, ezért a háromszög apotémje 3 cm.
2. példa: Mekkora a 4 cm-es oldalhosszúságú szabályos hatszög apotémája?
A szabályos hatszög apotémjének képletével \(l=4\) cm, muszáj
\(Mérése\ of\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Olvasd el te is: Mindent a háromszög nevezetes pontjairól
Gyakorlatokat oldott meg az apotémon
1. kérdés
Ha egy 4 cm magas piramis alapapotémája 3 cm, akkor a piramis apotémjének mértéke
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Felbontás:
Egy piramisban megszerkeszthetünk egy derékszögű háromszöget, amelyben az egyik láb az alap apotémája, a másik láb a piramis magassága, a hipotenusz pedig a piramis apotémája. Így a Pitagorasz-tételt alkalmazva az x mérték hipotenúzára,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Alternatíva A.
2. kérdés
Ha egy négyzet apotémája y cm, akkor a négyzet oldala az
A) \(\frac{1}3 év \) cm
B) \(\frac{1}2y \) cm
c) y cm
d) 2y cm
e) 3y cm
Felbontás
A négyzet apotémája a négyzet oldalhosszának fele. Ezért, ha az apotém mérete y cm, a négyzet mérete 2y cm.
Alternatíva D.
Írta: Maria Luiza Alves Rizzo
Matematika tanár