felezővonal és a merőleges vonal felezőpontját metsző szakaszra. Egy szakasz merőleges felezőjét vonalzó és iránytű segítségével megszerkeszthetjük. Rajta háromszög, a felezők a felezőpontjaikat tartalmazó oldalakra merőleges vonalak. Így egy háromszögnek három merőleges felezőszöge van. Azt a pontot, ahol ezek a felezők találkoznak, körülírásnak nevezzük, és ez a háromszöggel körülírt kör középpontja.
Olvasd el te is: Két pont közötti távolság – a legrövidebb út két pont között a derékszögű síkban
A cikk témái
- 1 - Összegzés a felezőről
- 2 - Mi az a felező?
- 3 - Hogyan készítsük el a merőleges felezőt?
- 4 - Hogyan találjuk meg a felező egyenletet?
- 5 - Háromszög felezője
- 6 - A háromszög felező, medián, felező és magasság közötti különbségek
- 7 - Megoldott feladatok a felezővonalon
Felező a egyenes merőleges a felezőponton átmenő szakaszra.
Egy merőleges felezőpont pontjai egyenlő távolságra vannak a szakasz végpontjaitól.
A merőleges felezőt vonalzóval és körzővel lehet megszerkeszteni.
Egy merőleges felező egyenlete a szakasz végpontjainak koordinátái alapján határozható meg.
Egy háromszögnek három merőleges felezője van, egy-egy oldalra nézve.
A háromszög felezőinek metszéspontját körbefogónak nevezzük. Ez a pont a háromszög körülírt körének középpontja.
A háromszög felezőpontja különbözik a háromszög mediánjától, felezőpontjától és magasságától.
Ne hagyd abba most... A nyilvánosság után van még valami ;)
Adott egy szakasz, a merőleges felező az az egyenes, amely merőleges a szegmens hogy elfogja a te középpont.
Ennek a meghatározásnak egy fontos következménye az egy merőleges felezőpont minden pontja azonos távolságra van a szakasz végpontjaitól. A matematikai szimbolikában, ha AB egy szakasz és a P pont a felezővonalhoz tartozik, akkor PA = PB.
Egy szakasz merőleges felezőjének megszerkesztéséhez, csak vonalzóra és iránytűre van szükségünk. Az építés lépései a következők:
1. lépés: Adott egy AB szakasz, nyissa ki az iránytűt a szakasz felénél nagyobb hosszúsággal. Tipp: az egyik lehetőség magának a szakasznak a hosszának használata.
2. lépés: rajzolj egyet körméret középponttal a szegmens egyik végén és sugárral az 1. lépésben választott mértékkel.
3. lépés: Ismételje meg a 2. lépést a szegmens másik végével.
4. lépés: Kösd össze a vonalzóval a körök metszéspontjait.
Mivel a felező merőleges egyenes, ezért meghatározhatjuk a egyenlet ami leírja a pontjaidat, lényedet r a szakaszt tartalmazó vonal AB eladva, s ennek a szakasznak a felezője és P (x, y) a felező merőleges bármely pontja.
Feltéve, hogy a pontok koordinátái A Ez B ismertek, megkaphatjuk a szögegyütthatót n az egyenesből r. Mint r Ez s merőlegesek, a lejtő m az egyenesből s (a merőleges felező) is megtalálható, mivel ez ellentéte a multiplikatív inverzének. n. Az egyenes alapegyenletére vonatkozó kifejezést használva, \(y-y_0=m (x-x_0 )\), min \(M(x\_0,y\_0)\) a felezőpontja AB, befejeztük a felező egyenletet.
Példa:
Határozzuk meg az A(1,2) és B(3,6) pontok által meghatározott szakasz felező egyenletét!
Felbontás:
Először is nézzük meg a lejtőt n az egyenesből r amely tartalmazza a szegmenst AB:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Most keressük a szakasz M felezőpontját AB:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Ne feledje, hogy a merőleges felező s kívánt merőleges az egyenesre r (amely tartalmazza a szegmenst AB). Ezután a szögegyüttható m az egyenesből s és a szögegyüttható n az egyenesből r a következőképpen kapcsolódnak egymáshoz:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
Ebből adódóan, \( m_s=\frac{-1}2\).
Végül az egyenes alapegyenletével határozzuk meg az s felezőt, egy olyan egyenest, amelynek meredeksége egyenlő \(-\frac{1}2\) és áthalad a (2,4) ponton:
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
A háromszög három oldala vonalszakasz. Így a „háromszög felezőpontja” kifejezés ennek a geometriai alakzatnak az egyik oldalának felezőpontjára utal. Ebből adódóan, a háromszöghárom felezőpontja van. Lásd alább:
A háromszög felezőinek találkozási pontját körbefogónak nevezzük., mivel ez a háromszögre körülírt kör középpontja (azaz a háromszög három csúcsán áthaladó kör).
Fontos:Mivel a körülírt középpont a három merőleges felezőpont közös pontja, távolsága mindegyik csúcstól azonos. A matematikai szimbolikában, ha D a háromszög körülírt középpontja ABC, akkor \(AD=BD=CD\).
A háromszög felezője, mediánja, felezője és magassága különböző fogalmak. Nézzük meg mindegyiket külön, majd együtt.
Egy háromszög felezője: az egyik oldalra merőleges egyenes, amely metszi annak felezőpontját.
Egy háromszög mediánja: az a szakasz, amelynek végpontjai a háromszög egyik csúcsában és a csúcsponttal ellentétes oldal felezőpontjában vannak.
Egy háromszög felezője: az a szegmens, amely az egyik felére osztja szögek a háromszög oldalai, végpontjai az egyik csúcson és az ellenkező oldalon.
Egy háromszög magassága: az egyik oldalra merőleges szakasz, amelynek vége az oldallal ellentétes szöget zár be.
A következő képen a háromszög BC szakaszához viszonyítva kiemeljük a magasságot (narancssárga szaggatott vonal), a felező (lila szaggatott vonal), a medián (zöld szaggatott vonal) és a merőleges felező (folytonos vonal piros).
Fontos: Rajta egyenlő oldalú háromszög, azaz amelynek három oldala és három szöge egyenlő, a felezők, a mediánok, a felezők és a magasságok egybeesnek. Következésképpen a a háromszög nevezetes pontjai (circumcenter, barycenter, incenter és orthocenter) is egybeesnek. Az alábbi képen a BC szakaszhoz kapcsolódóan egy folytonos fekete vonallal emeljük ki a felezőt, a mediánt, a felezőt és a magasságot. A kiemelt E pont tehát az ABC háromszög körülírt középpontja, baricentruma, incenterje és ortocentruma.
Lásd még: Metrikus összefüggések a beírt egyenlő oldalú háromszögben – mik ezek?
1. kérdés
Vegye figyelembe az alábbi állításokat.
én. A háromszög felezőpontja az a szakasz, amely egy csúcstól kezdődik és keresztezi a szemközti oldal felezőpontját.
II. A háromszög felezőinek találkozási pontját körbefogónak nevezzük. Ez a pont a háromszöggel körülírt és a csúcsoktól egyenlő távolságra lévő kör középpontja.
III. A szakasz felezője az a merőleges egyenes, amely a szakaszt a felezőpontban metszi.
Melyik alternatíva tartalmazza a megfelelő(ke)t?
A) Csak én.
B) Csak II.
C) III, csak.
D) I. és II.
E) II. és III.
Felbontás:
Alternatív E
Az I. állítás az egyetlen hibás, mivel egy háromszög mediánját írja le.
2. kérdés
(Enem – adaptálva) Az elmúlt években a televízió igazi forradalmat élt át a képminőség, a hangzás és a nézőkkel való interaktivitás terén. Ez az átalakítás az analóg jel digitális jellé alakításának köszönhető. Sok város azonban még mindig nem rendelkezik ezzel az új technológiával. Egy televíziós állomás, amely három városban szeretné elérni ezeket az előnyöket, új adótornyot kíván építeni, amely jelet küld az ezekben a városokban már meglévő A, B és C antennákhoz. Az antennák helyét a derékszögű síkban ábrázoljuk:
A toronynak egyenlő távolságra kell lennie a három antennától. Ennek a toronynak az építésére alkalmas hely a koordináták pontja
A) (65, 35).
B) (53, 30).
C) (45, 35).
D) (50, 20).
E) (50, 30).
Felbontás:
Alternatív E
Ne feledje, hogy a torony helyének az A, B és C pontok által alkotott háromszög középpontja kell, hogy legyen, mivel ez a három antenna egyenlő távolságra lévő helye.
A T-torony koordinátái:\( (x_t, y_t )\). Mivel T az AB felezőszögéhez tartozik (amelyet az x = 50 egyenes adja), ezért a torony vízszintes helyzetét \(x_t=50\).
A vízszintes koordináta meghatározásához \(y_t\) A torony két pont távolságának kifejezését kétszer használhatjuk. Mivel a torony egyenlő távolságra van például az A és C csúcsoktól (AT = CT), a következőket kapjuk:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)
Leegyszerűsítve megkapjuk \(y_t=30\).
Írta: Maria Luiza Alves Rizzo
Matematika tanár
Tudja meg, mi a sokszög apotémje, és hogyan kell kiszámítani a mértékét. Ismerje meg a számítás fő képleteit is.
Tekintse meg itt a kerület főbb jellemzőit, és tanulja meg a terület és a hossz kiszámítását. Lásd még a kör egyenletének felírását.
Az egyenes hajlásszögének érintőjének meghatározása.
A két pont közötti legrövidebb távolság egy egyenes. Nézze meg, hogyan kell kiszámítani ezt a távolságot, és tanulja meg, hogyan hozhat létre matematikai összefüggést ennek meghatározásához
Tudja meg, mi az egyenes általános egyenlete, és hogyan találhatja meg, amellett, hogy az egyenletből ellenőrizheti egy vonal grafikus ábrázolását.
Tanulja meg, hogyan kell kiszámítani egy szakasz felezőpontját az analitikai geometria segítségével!
Nézze meg itt a háromszög nevezetes pontjait, és ismerje meg főbb tulajdonságait. Tekintse meg azt is, hogy ezek a pontok hogyan segíthetik elő bizonyos problémák megoldását.
Értsd meg, mi a merőleges egyenes, és tanuld meg, mi a feltétele annak, hogy a derékszögű síkban ábrázolt két egyenes merőleges legyen vagy sem.