A A belső felező tételt kifejezetten arra fejlesztették ki háromszögek és megmutatja, hogy amikor a háromszög egy szögének belső felezőjét nyomon követjük, akkor a felező metszéspontja a vele szemközti oldallal felosztja ezt az oldalt vonalszakaszok arányos az adott szög szomszédos oldalaival. A belső felező tétel alkalmazásával lehetőség van a háromszög oldalának vagy szakaszainak értékének meghatározására a köztük lévő arány segítségével.
Lásd még: Medián, szögfelező és háromszög magassága – mi a különbség?
A belső felező tétel összefoglalása:
A felező a sugár amely a szöget két egybevágó szögre osztja.
A belső felező tétel a háromszögekre jellemző.
Ez a tétel bizonyítja, hogy a felező felosztja a szemközti oldalt arányos szegmensek a szomszédos oldalakra szög.
Videó lecke a belső felező tételről
Mi a felezőtétel?
Mielőtt megértenénk, mit mond a belső felező tétel, fontos tudni, hogy mi az szögfelező. Ez egy sugár, amely a szöget két egybevágó részre osztja., azaz két rész, amelyeknek azonos mértéke.
Ha megértjük, mi a felező, észrevesszük, hogy egy háromszög belső szögében létezik. Ha behatároljuk a háromszög szögfelezőjét, akkor a szemközti oldalt két részre osztja. Ami a belső felezőt illeti, tétele azt mondja, hogy a vele felosztott két szakasz arányos a szög szomszédos oldalaival.
Vegye figyelembe, hogy a felező az AC oldalt két részre osztja, AD és DC szegmensre. A felezőtétel azt mutatja:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Többet tud: Pitagorasz-tétel – egy másik háromszögekre kifejlesztett tétel
A belső felező tétel bizonyítása
Az alábbi ABC háromszögben elhatároljuk a BD szakaszt, amely ennek a háromszögnek a felezőpontja. Továbbá nyomon követjük a CB oldalának és az AE szakaszának meghosszabbítását, párhuzamosan a BD-vel:
Az AEB szög kongruens a DBC szöggel, mert a CE a egyenes keresztirányban az AE és BD párhuzamos szakaszokra.
alkalmazva a Thalész tétele, arra a következtetésre jutottunk, hogy:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Most mi be kell mutatni, hogy BE = AB.
Mivel x az ABD és DBC szög mértéke, az ABE szöget elemezve a következőt kapjuk:
ABE = 180 - 2x
Ha y az EAB szög mértéke, akkor a következő helyzet áll fenn:
Tudjuk, hogy a a háromszög belső szögeinek összege Az ABE 180°, így kiszámíthatjuk:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Ha az x és az y szög mértéke azonos, akkor az ABE háromszög az egyenlő szárú. Ezért az AB oldal = AE.
Mivel egy háromszög belső szögeinek összege mindig egyenlő 180°-kal, az ACE háromszögben a következőket kapjuk:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Mivel y = x, az ACE háromszög egyenlő szárú. Ezért az AE és AC szegmensek egybevágóak. Az AE cseréje AC bemenetre ok, bebizonyosodott, hogy:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Példa:
Keresse meg x értékét a következő háromszögben:
A háromszöget elemezve a következő arányt kapjuk:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Keresztszorzás:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Olvasd el te is: A háromszög nevezetes pontjai – mik ezek?
Megoldott feladatok a belső felező tételre
1. kérdés
Az alábbi háromszögre nézve azt mondhatjuk, hogy x értéke:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Felbontás:
Alternatíva D
A belső felező tételt alkalmazva a következő számítást kapjuk:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Keresztszorzás:
\(27x=18\ \bal (30-x\jobb)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
2. kérdés
Elemezze a következő háromszöget, tudva, hogy a méréseit centiméterben adták meg.
Az ABC háromszög kerülete egyenlő:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Felbontás:
Alternatív C
A felezőtételt alkalmazva először megkeressük x értékét:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \left (4x-9\right)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Így az ismeretlen oldalak mértéke:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Emlékezve arra, hogy a mérőhossz használt volt a cm, a kerülete ennek a háromszögnek egyenlő:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm
