A faktorizáció polinomok polinom átírására kifejlesztett módszerekből áll polinomok közötti szorzatként. Írja fel a polinomot a szorzás két vagy több tényező között segít az algebrai kifejezések egyszerűsítésében és a polinom megértésében.
A faktoringnak különböző esetei vannak, és mindegyikhez sajátos technikák tartoznak.. A létező esetek a következők: faktorálás evidencia közös tényezőjével, faktorálás csoportosítással, két négyzet különbsége, tökéletes négyzetháromság, két kocka összege és két kocka különbsége.
Olvass tovább:Mi az a polinom?
Összegzés a faktorálási polinomokról
A polinomok faktorizálása olyan technikák, amelyekkel a polinomot polinomok közötti szorzatként ábrázolják.
Ezt a faktorizációt használjuk az egyszerűsítés érdekében algebrai kifejezések.
-
A faktoring esetei a következők:
Faktorozás a bizonyítékok közös tényezője alapján;
Faktorozás csoportosítással;
tökéletes négyzetes trinomikus;
két négyzet különbsége;
két kocka összege;
Két kocka különbsége.
Polinomi faktorálási esetek
Egy polinom tényezőjéhez elemezni kell, hogy a faktoring esetek közül melyikben illik a helyzet, lévén: faktorálás közös tényezővel bizonyítékban, faktorálás csoportosítással, különbség két négyzet között, tökéletes négyzetháromság, két kocka összege és két kocka különbsége. Nézzük meg, hogyan kell mindegyikben végrehajtani a faktorizálást.
A bizonyítékok közös tényezője
Ezt a faktorálási módszert akkor használjuk, ha van olyan tényező, amely a polinom összes tagjában közös. Ezt a közös tényezőt emeljük ki, mint az egyik tényezőt, a másik tényezőt, az eredményt osztály A közös tényező által használt kifejezések zárójelek közé kerülnek.
1. példa:
20xy + 12x² + 8xy²
E polinom minden tagját elemezve látható, hogy x minden tagban megismétlődik. Ezenkívül minden együttható (20, 12 és 8) a 4 többszöröse, tehát az összes tag közös tényezője 4x.
Ha minden tagot elosztunk a közös tényezővel, a következőt kapjuk:
20xy: 4x = 5 év
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Most megírjuk a faktorizációt, a közös tényezőt bizonyítékokba helyezve és a összeg a zárójelben található eredmények közül:
4x (5 év + 3x + 2 év²)
2. példa:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Az egyes kifejezések szó szerinti részét elemezve látható, hogy a²b mindegyikben ismétlődik. Vegye figyelembe, hogy nincs olyan szám, amely egyszerre osztana 2-t, 3-at és – 4-et. Tehát a közös tényező csak a²b lesz.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
45b³: a²b = 4a³
Így ennek a polinomnak a faktorizációja a következő lesz:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Lásd még: Polinomok összeadása, kivonása és szorzása – értse meg, hogyan történik
csoportosítás
Ez a módszer az akkor használjuk, ha nincs közös tényező a polinom összes tagjához. Ebben az esetben azonosítjuk azokat a kifejezéseket, amelyek egy közös tényezővel csoportosíthatók, és kiemeljük őket.
Példa:
Tényező a következő polinomot:
ax + 4b + bx + 4a
Csoportosítjuk azokat a kifejezéseket, amelyeknek a és b közös tényezője:
ax + 4a + bx + 4b
Ha a-t és b-t kettő-kettővel bizonyítjuk, a következőt kapjuk:
a(x+4)+b(x+4)
Vegye figyelembe, hogy a zárójelben a tényezők megegyeznek, ezért ezt a polinomot átírhatjuk a következőképpen:
(a + b) (x + 4)
tökéletes négyzetes trinomikus
A trinomiálisok 3 tagú polinomok. A polinomot tökéletes négyzetes trinomnak nevezzük, ha az összeg négyzet vagy különbség négyzet eredménye, vagyis:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Fontos: Ez a polinom nem minden alkalommal lesz tökéletes négyzetháromtag. Ezért a faktorizálás elvégzése előtt ellenőrizni kell, hogy a trinom ebben az esetben illeszkedik-e.
Példa:
Tényező, ha lehetséges, a polinom
x² + 10x + 25
A trinomiális elemzése után kivonjuk a négyzetgyök első és utolsó ciklus:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Fontos ellenőrizni, hogy a központi tag, azaz a 10x egyenlő-e \(2\cdot\ x\cdot5\). Vegye figyelembe, hogy ez valóban ugyanaz. Tehát ez egy tökéletes négyzetes trinom, amely a következőképpen faktorálható:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
két négyzet különbsége
Ha két négyzet különbségünk van, ezt a polinomot úgy tudjuk faktorozni, hogy átírjuk az összeg és a különbség szorzataként.
Példa:
A polinom tényezője:
4x² – 36y²
Először is kiszámítjuk az egyes feltételek négyzetgyökét:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Most átírjuk ezt a polinomot a talált gyökök összegének és különbségének szorzataként:
4x² – 36 év² = (2x + 6 év) (2x – 6 év)
Olvasd el te is: Algebrai számítás monomokkal – ismerje meg, hogyan történik a négy művelet
két kocka összege
Két kocka összege, azaz a³ + b³, mint:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Példa:
A polinom tényezője:
x³ + 8
Tudjuk, hogy 8 = 2³, tehát:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Két kocka különbsége
Két kocka különbsége, azaz a³ – b³, nem ellentétben két kocka összegével, úgy számolható:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Példa:
Tényezd ki a polinomot
8x³ - 27
Tudjuk:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Tehát nekünk kell:
\(8x^3-27=\bal (2x-3\jobb)\)
\(8x^3-27=\bal (2x-3\jobb)\bal (4x^2+6x+9\jobb)\)
Gyakorlatokat oldott meg faktoring polinomokról
1. kérdés
Polinomfaktorizálás használata az algebrai kifejezés egyszerűsítésére \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), Meg fogjuk találni:
a) x + 2
B) x - 2
Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Felbontás:
Alternatíva D
Ha a számlálót nézzük, azt látjuk, hogy x² + 4x + 4 egy tökéletes négyzetes trinomikus eset, és így átírható:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Az x² – 4 számláló két négyzet különbsége, és a következőképpen írható át:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Ebből kifolyólag:
\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)
Megjegyzendő, hogy az x + 2 tag a számlálóban és a nevezőben is megjelenik, így egyszerűsítését a következőképpen adja meg:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
2. kérdés
(Unifil Institute) Tekintettel arra, hogy két szám, az x és az y olyan, hogy x + y = 9 és x² – y² = 27, akkor x értéke egyenlő:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Felbontás:
Alternatív C
Vegye figyelembe, hogy x² – y² két négyzet különbsége, és az összeg és a különbség szorzataként számolható:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Tudjuk, hogy x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27:9
x - y = 3
Ezután beállíthatjuk a egyenletrendszer:
A két sor hozzáadása:
2x + 0 év = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-de-polinomio.htm
