Tanuljon a 11 mátrixszorzási gyakorlattal, mindegyik lépésről lépésre feloldva, hogy megoldja kétségeit, és jól teljesítsen a vizsgákon és a felvételi vizsgákon.
1. kérdés
Az alábbi mátrixok ismeretében jelölje be azt az opciót, amely csak lehetséges szorzatokat jelöl.
a) C.A, B.A, A.D.
b) D.B, D.C, A.D.
c) AC, D.A, C.D.
d) B.A, A.B, D.C
e) A.D., D.C., C.A.
Helyes válasz: c) AC, D.A, C.D
Az A.C azért lehetséges, mert az A (1) oszlopok száma megegyezik a C (1) sorainak számával.
A D.A lehetséges, mert a D (2) oszlopainak száma megegyezik az A (2) sorainak számával.
A C.D azért lehetséges, mert a C (3) oszlopainak száma megegyezik a D (3) sorainak számával.
2. kérdés
Készítsen A mátrix terméket. B.
Először is ellenőriznünk kell, hogy lehetséges-e a szorzás.
Mivel A 2x3-as mátrix, B pedig 3x2-es mátrix, lehetséges a szorzás, mivel az A oszlopok száma megegyezik a B-beli sorok számával.
Ellenőriztük a szorzás eredményeként kapott mátrix méreteit.
Az A szorzat eredménymátrixának meghívása. A C mátrix B, ennek két sora és két oszlopa lesz. Ne feledje, hogy a szorzat eredménymátrixa "örökli" a sorok számát az elsőtől és az oszlopok számát a másodiktól.
Ezért a C mátrix 2x2 típusú lesz. A C általános mátrix felépítésével a következőket kapjuk:
C =
A c11 kiszámításához megszorozzuk a A első sora a B első oszlopa, hozzáadva a szorzott kifejezéseket.
c11 = 3,1 + (-2).0 + 1,4 = 3 + 0 + 4 = 7
A c12 kiszámításához megszorozzuk a A első sora a B második oszlopa, hozzáadva a szorzott kifejezéseket.
c12 = 3,3 + (-2). (-5) + 1,1 = 9 + 10 + 1 = 20
A c21 kiszámításához megszorozzuk a A második sora a első oszlopa B, a szorzott tagok összeadásával.
c21 = 1,1 + 5,0 + (-1).4 = 1 + 0 + (-4) = -3
A c22 kiszámításához megszorozzuk a A második sora a B második oszlopa, hozzáadva a szorzott kifejezéseket.
c22 = 1,3 + 5. (-5) + (-1).1 = 3 + (-25) + (-1) = -23
C mátrix felírása feltételeivel.
C =
3. kérdés
Oldja meg a mátrixegyenletet, és határozza meg x és y értékét.
Ellenőriztük, hogy az egyenlőség előtt lehetséges-e a mátrixok szorzása, mivel 2x2 és 2x1 típusúak, vagyis az első oszlopok száma megegyezik a második sorainak számával. Az eredmény a 2x1 mátrix az egyenlőség jobb oldalán.
Az első mátrix 1. sorát megszorozzuk a második mátrix 1. oszlopával, és egyenlő 3-mal.
-1.x + 2.y = 3
-x + 2y = 3 (I. egyenlet)
Az első mátrix 2. sorát megszorozzuk a második mátrix 1. oszlopával, és egyenlő -4-gyel.
4.x + (-3).y = -4
4x - 3y = -4 (II egyenlet)
Két egyenletünk és két ismeretlenünk van, és megoldhatunk egy rendszert x és y meghatározására.
Ha az I egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 4-gyel, és összeadjuk az I + II-t, a következőt kapjuk:
Ha behelyettesítjük y-t az I egyenletbe és megoldjuk x-et, akkor a következőt kapjuk:
Szóval van
4. kérdés
Adott a következő lineáris rendszer, társítson egy mátrix egyenletet.
Három egyenlet és három ismeretlen.
Ahhoz, hogy egy mátrixegyenletet a rendszerhez rendeljünk, három mátrixot kell felírnunk: az együtthatók, az ismeretlenek és a független tagok.
Együttható mátrix
Ismeretlen mátrix
Független kifejezések mátrixa
mátrix egyenlet
Együtthatók mátrixa. ismeretlenek mátrixa = független tagok mátrixa
kérdés 5
(UDESC 2019)
Adott a mátrixok 
és tudván, hogy A. B = C, tehát x + y értéke egyenlő:
a) 1/10
b) 33
c) 47
d) 1/20
e) 11
Helyes válasz: c) 47
Az x és y értékeinek meghatározásához a mátrixegyenletet egy rendszer előállításával oldjuk meg. A rendszer megoldásakor x és y értékeit kapjuk.
A mátrixok szorzása:
x elkülönítése az I. egyenletben
x behelyettesítése a II. egyenletben
a nevezők egyezése
Az x meghatározásához y-t behelyettesítjük a II. egyenletbe
És így,
x + y = 19 + 18
x + y = 47
6. kérdés
(FGV 2016) Adott a mátrix 
és annak tudatában, hogy a mátrix 
Az A mátrix inverz mátrixa, arra a következtetésre juthatunk, hogy az X mátrix, amely kielégíti az AX = B mátrixegyenletet, elemeinek összege a szám
a) 14
b) 13
c) 15
d) 12
e) 16
Helyes válasz: b) 13
Bármely mátrix az inverzével megszorozva egyenlő az In azonosságmátrixszal.
Az AX = B egyenlet mindkét oldalát megszorozva ezzel .
A szorzat elkészítése az egyenlet jobb oldalán.
Hogyan az identitásmátrix a mátrixszorzat semleges eleme
Így elemeinek összege:
10 + 3 = 13
7. kérdés
Adott az A mátrixot követő mátrix, számítsa ki annak inverz mátrixát, ha van ilyen.
A invertálható, vagy invertálható, ha van egy ugyanolyan rendű négyzetmátrix, amely A-val való szorzáskor vagy szorzásakor az azonosságmátrixot eredményezi.
Szándékunkban áll azonosítani egy mátrix létezését vagy sem miért:
Mivel A egy 2-es rendű négyzetmátrix, 2-es rendelés is kell.
Írjuk fel az inverz mátrixot az értékeivel ismeretlenként.
A mátrixegyenlet felírása és a szorzat megoldása.
Az egyenlőség mindkét oldalán ekvivalens tagok egyenlővé tétele.
3a + 7c = 1
5a + 12c = 0
3b + 7d = 0
5b + 12d = 1
Van egy rendszerünk négy egyenletből és négy ismeretlenből. Ebben az esetben a rendszert két részre oszthatjuk. Mindegyik két egyenlettel és két ismeretlennel.
a rendszer megoldása
Az a elkülönítése az első egyenletben
A második egyenletben a behelyettesítés.
Csere c
és a rendszer:
B izolálása az első egyenletben
B helyettesítése a második egyenletben
d helyettesítése a b meghatározásához.
A meghatározott értékek cseréje az inverz ismeretlen mátrixban
Annak ellenőrzése, hogy a számított mátrix valóban A inverz mátrixa-e.
Ehhez el kell végeznünk a szorzásokat.
Ezért a törtek invertálhatók.
kérdés 8
(EsPCEx 2020) Légy a mátrixok . Ha AB=C, akkor x+y+z egyenlő
a) -2.
b) -1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
Helyes válasz: e) 2.
Az x, y és z ismeretlenek meghatározásához végre kell hajtanunk a mátrixegyenletet. Ennek eredményeként három egyenletből és három ismeretlenből álló lineáris rendszerünk lesz. A rendszer megoldása során meghatározzuk x, y és z értékeket.
A mátrixok egyenlőségével a következőket kapjuk:
Az I. és III. egyenlet összeadása
Tehát x = -4/2 = -2
Az x = -2 behelyettesítése az I. egyenletben és elkülönítve z-t.
Az x és z értékeinek behelyettesítése a II. egyenletben.
Ha behelyettesítjük x és y értékét az I egyenletben, a következőt kapjuk:
Így a következőket kell tennünk:
Ezért az ismeretlenek összege egyenlő 2-vel.
kérdés 9
(PM-ES) A mátrixszorzásról Fabiana a következő mondatokat írta a füzetébe:
Amit Fabiana mond, az igaz:
a) csak az I.
b) csak a II.
c) csak a III.
d) csak az I. és III.
e) csak az I. és IV
Helyes válasz: e) csak az I. és IV
Csak akkor lehet mátrixokat szorozni, ha az első oszlopok száma megegyezik a második sorainak számával.
Ezért a III. mondat már el van vetve.
A C mátrixban A sorok száma és B oszlopainak száma lesz.
Így az I. és IV. mondat helyes.
10. kérdés
Adott A mátrix, határozza meg .
1. lépés: Határozza meg .
2. lépés: Határozza meg a transzponált mátrixot .
Az A transzponált mátrixát úgy kapjuk meg, hogy szabályosan felcseréljük a sorokat az oszlopokra.
3. lépés: Oldja meg a mátrixszorzatot .
Ezért a mátrixszorzat eredménye:
kérdés 11
(UNICAMP 2018) Az és B valós számok úgy, hogy a mátrix kielégíti az egyenletet
, min én a 2. sorrendű azonosságmátrix. Ezért a termék ab ez ugyanaz, mint
a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.
Helyes válasz: a) -2.
1. lépés: Határozza meg .
2. lépés: Határozza meg a. AZ.
3. lépés: Határozza meg a b. Én, ahol én az identitásmátrix.
4. lépés: Adja hozzá aA + bI-t.
5. lépés: Párosítsa a megfelelő kifejezéseket.
6. lépés: Oldja meg a rendszert az I egyenletben szereplő a elkülönítésével.
Behelyettesítés a II. egyenletben.
A b értékének cseréje
7. lépés: hajtsa végre a szorzást a.b.
tudj meg többet Mátrixszorzás.
Érdekelheti:
Mátrixok – Gyakorlatok
Mátrixok
Mátrixok és determinánsok
Mátrixok típusai
