An polinomiális egyenlet jellemzi, hogy a polinom egyenlő nullával. Jellemezhető a polinom fokával, és minél nagyobb ez a fok, annál nehezebben találja meg a megoldását vagy a gyökét.
Ebben az összefüggésben az is fontos, hogy megértsük, mi az algebra alaptétele, amely ezt kimondja minden polinomegyenletnek van legalább egy komplex megoldása, más szóval: egy elsőfokú egyenletnek legalább egy megoldása lesz, a második fokú egyenletnek legalább két megoldása lesz, és így tovább.
Olvass te is: Melyek a polinomok osztályai?
Mi az a polinomegyenlet
Egy polinomegyenletet az jellemez, hogy egy polinomja nullával egyenlő, így minden P(x) = 0 típusú kifejezés polinomiális egyenlet, ahol P(x) egy polinom. Az alábbiakban egy polinomiális egyenlet általános esete és néhány példa látható.
Fontolja meg anem, an -1, a n -2, …, Az1, a0 és x valós számok, és n pozitív egész szám, a következő kifejezés egy n fokú polinomiális egyenlet.
- Példa
A következő egyenletek polinomok.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
A polinomokhoz hasonlóan a polinomegyenleteknek is megvan a mértékük. A polinomiális egyenlet mértékének meghatározásához csak keresse meg a legnagyobb hatványt, amelynek együtthatója eltér nullától. Ezért az előző tételek egyenletei rendre:
a) Az egyenlet a negyedik fokozat:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Az egyenlet abból származik Gimnázium:5x2 – 3 = 0.
c) Az egyenlet abból származik első fokozat:6x – 1 = 0.
d) Az egyenlet a harmadik fokozat: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
Hogyan lehet polinomiális egyenletet megoldani?
A polinomiális egyenlet megoldásának módja a mértékétől függ. Minél nagyobb egy egyenlet foka, annál nehezebb megoldani. Ebben a cikkben bemutatjuk a polinomiális egyenletek megoldási módszerét elsőfokú, másodfokú és bisquare.
Elsőfokú polinomegyenlet
Egy elsőfokú polinomiális egyenletet a fokú polinom. Tehát általánosságban felírhatunk egy elsőfokú egyenletet a következőképpen.
Tekintsünk két valós számot Az és B ≠ 0 esetén a következő kifejezés egy elsőfokú polinomiális egyenlet:
ax + b = 0
Ennek az egyenletnek a megoldásához használnunk kell a egyenértékűségi elv, vagyis mindent, amit az egyenlőség egyik oldalán működtetnek, a másik oldalon is működni kell. Egy elsőfokú egyenlet megoldásának meghatározásához meg kell elszigetelni az ismeretlent. Ehhez első lépésként meg kell szüntetni a B az egyenlőség bal oldalán, majd kivonnievezőket b az egyenlőség mindkét oldalán.
fejsze + b - B = 0 - B
ax = - b
Vegyük észre, hogy az ismeretlen x értéke nem izolált, az a együtthatót ki kell szűrni az egyenlőség bal oldaláról, és ehhez osszuk el mindkét oldalt Az.
- Példa
Oldja meg az 5x + 25 = 0 egyenletet.
A probléma megoldásához az ekvivalencia elvét kell használnunk. A folyamat megkönnyítése érdekében elhagyjuk a művelet írását az egyenlőség bal oldalán, lévén egyenértékű azzal, hogy „átadjuk” a számot a másik oldalra, megváltoztatva az előjelet (inverz művelet).
Tudjon meg többet az ilyen típusú egyenlet megoldásáról a szövegünkben: Elsőfokú egyenlet egy ismeretlennel.
Második fokú polinomegyenlet
Egy másodfokú polinomegyenlet a karakterisztikával rendelkezik fokú polinom. Tehát vegyük a, b és c valós számokat, amelyeknél a ≠ 0. A másodfokú egyenletet a következő képlet adja meg:
fejsze2 + bx + c = 0
módszerével határozható meg megoldása bhaskara vagy faktoringgal. Ha többet szeretne tudni az ilyen típusú egyenletekről, olvassa el: Eqakciója smásodik grau.
→ Bhaskara módszer
Bhaskara módszerét használva a gyökereit a következő képlet adja meg:
- Példa
Keresse meg az x egyenlet megoldását!2 – 3x + 2 = 0.
Figyeljük meg, hogy az egyenlet együtthatói rendre a = 1, b = – 3 és c = 2. Ha ezeket az értékeket lecseréljük a képletben, akkor a következőket kell tenni:
→ Faktorizáció
Nézze meg, hogy lehetséges-e az x kifejezés faktorálása2 – 3x + 2 = 0 a gondolatot használva polinomiális faktorizáció.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Vegyük észre, hogy van egy nullával egyenlő szorzatunk, és egy szorzat csak akkor egyenlő nullával, ha az egyik tényező nulla, tehát a következőket kell tenni:
x – 2 = 0
x = 2
vagy
x - 1 = 0
x = 1
Nézzük meg, hogy két különböző módszerrel találtuk meg az egyenlet megoldását.
bi-négyzet egyenlet
AZ négyzetes egyenlet ez egy a negyedik fokú polinomiális egyenlet sajátos esete, általában egy negyedik fokú egyenletet a következő formában írnak fel:
fejsze4 + bx3 + doboz2 + dx + e = 0
ahol a számok a B C D és és valódiak ≠ 0-val. Egy negyedik fokú egyenletet akkor tekintünk négyzetesnek, ha az együtthatók b = d = 0, azaz az egyenlet a következő formában van:
fejsze4 + doboz2 + és = 0
Lásd az alábbi példában, hogyan kell megoldani ezt az egyenletet.
- Példa
Oldja meg az x egyenletet!4 – 10x2 + 9 = 0.
Az egyenlet megoldásához a következő ismeretlen változást fogjuk használni, és amikor az egyenlet négyzetes, akkor ezt a változtatást végrehajtjuk.
x2 =p
A bi-négyzet egyenletből vegyük észre, hogy x4 = (x2)2 és ezért kell:
x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
számára2 – 10p + 9 = 0
Nézzük meg, hogy most van egy másodfokú polinomegyenletünk, és használhatjuk Bhaskara módszerét, így:
Nem szabad azonban elfelejtenünk, hogy a gyakorlat elején ismeretlen változás történt, ezért a helyettesítésben talált értéket kell alkalmazni.
x2 =p
p = 9 esetén ez van:
x2 = 9
x’ = 3
vagy
x'' = – 3
p = 1 esetén
x2 = 1
x’ = 1
vagy
x'' = – 1
Ezért a négyzetes egyenlet megoldási halmaza:
S = {3, –3, 1, –1}
Olvasd el te is: Briot-Ruffini gyakorlati eszköze – polinomok felosztása
Algebra alaptétele (TFA)
Az algebra (TFA) alaptétele, amelyet Gauss 1799-ben bizonyított, kimondja, hogy minden alábbi polinomegyenletnek van legalább egy komplex gyöke.
A polinomiális egyenlet gyöke a megoldása, vagyis az ismeretlen érték az, ami igazzá teszi az egyenlőséget. Például egy elsőfokú egyenletnek van már meghatározott gyöke, csakúgy, mint egy másodfokú egyenletnek, amelynek legalább két gyöke van, és egy bisquare-nek, amelynek legalább négy gyöke van.
megoldott gyakorlatokat
1. kérdés – Határozza meg x értékét, amely igazzá teszi az egyenlőséget!
2x – 8 = 3x + 7
Felbontás
Vegyük észre, hogy az egyenlet megoldásához rendszerezni kell, vagyis minden ismeretlent az egyenlőség bal oldalán hagyni.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Az ekvivalenciaelv szerint az egyenlőség mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanannyi számmal, és mivel x értékét akarjuk megtalálni, mindkét oldalt –1-gyel megszorozzuk.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
2. kérdés – Marcosnak 20 R$-val több van, mint Joãónak. Együtt sikerül két pár tornacipőt venniük, amelyek mindegyike 80 R$-ba kerül, és nincs pénzük. Hány reája van Jánosnak?
Felbontás
Tegyük fel, hogy Marknak x realja van, ahogy Jánosnak 20 realja van több, úgy neki x + 20.
Marks → x reals
João → (x + 20) real
hogyan vásároltak két pár tornacipő amelyek egyenként 80 realba kerülnek, tehát ha mindegyik alkatrészét összerakjuk, akkor a következőket kell tenni:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160–20
2x = 140
Ezért Marknak 70, Joãónak pedig 90 reája volt.
írta: Robson Luiz
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm