Newton binomiálja bármely binomiális számra emelve nem mire nem ez természetes szám. A fizikus tanulmányainak köszönhetően Isaac Newton a binomiálisok erejéről lehetséges volt ellenőrizze a polinom ábrázolását megkönnyítő törvényszerűségeket binomiál erejéből keletkezik.
Ezeket a törvényszerűségeket megfigyelve lehetővé is vált csak az egyik kifejezést találja meg polinom, anélkül, hogy az egészet ki kellene számolni, a binomiális általános kifejezésének képletét használva. Ezen túlmenően, Newton észrevette a kapcsolatot a kombinatorikus elemzésés Newton binomiális anyagai, mi készítette a Pascal háromszöge remek eszköz a Newton binomiális gyakorlati kidolgozásához.
Olvassa el: Briot-Ruffini eszköz - módszer a polinomok felosztására
Newton binomiáljának meghatározása
Binomiálként definiáljuk apolinom, amely két kifejezéssel rendelkezik. A matematika és a fizika egyes alkalmazásaiban szükség van egy binomiális teljesítmény kiszámítására. A folyamat megkönnyítése érdekében Isaac Newton fontos törvényszerűségeket vett észre
amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy megtaláljuk a binomiál erejéből adódó polinomot.
Bizonyos esetekben a számítás meglehetősen egyszerű: csak hajtsa végre a a binomiális szorzása önmagában az elosztó tulajdonság felhasználásával. A 3. sorrend erejéig különösebb erőfeszítés nélkül fejlődünk, mivel ezek jól ismertek nevezetes termékek, de magasabb hatalmak esetén a kifejezés önmagában történő szorzásából számoljon nem néha sok munka.
Példák
Ne feledje, hogy minden nullára emelt szám egyenlő 1-vel, és hogy minden 1-re emelt szám önmagában van, ami a binomiálisokra is igaz.
Newton észrevette a kapcsolat az egyes kifejezések együtthatói és a kombináció között, amely lehetővé tette a binomiális teljesítmény kiszámítását közvetlenül a következő képlet alapján:
A képlet megértése:
Először nézzük meg az egyes kifejezések szó szerinti részét, amely a betű annak kitevőjével. Ne feledje, hogy minden kifejezésnél a kitevője “az a ”csökken, kezdve n-től, majd n - 1-ig haladva, és így tovább, amíg az utolsó előtti kifejezésben 1-re, az utolsó kifejezésre pedig 0-ra vált (ami miatt az„ a ”betű még az utolsó kifejezésben sem jelenik meg).
azonosító A és annak kitevői:
Most elemezzük a "b" kitevőit, amelyek mindig növekednek, kezdve az első ciklus 0-jával (a ami miatt a b betű nem jelenik meg az első kifejezésben), 1 a második kifejezésben és így tovább, amíg meg nem egyenlő A nemaz utolsó ciklusban.
azonosító B és annak kitevői:
A szó szerinti rész megértése, hadd elemezze az együtthatókat, amelyek mind kombinációi nem elemek 0-tól 0-ig, 1-től 1-ig, 2-től 2-ig és így tovább az utolsó kifejezésig, amely a kombináció nem -ból vett elemek nem ban ben nem.
Figyelemre méltó, hogy fontos elsajátítani a számítást kombinációk hogy megtalálja az együtthatókat. Ne feledje, hogy a kombinációk kiszámításához:
A kombinációs válasz mindig a természetes szám.
Lásd még: Polinomiális felosztás: hogyan lehet megoldani?
Példa: Számítsa ki Newton binomiálisát (a + b) a negyedik hatványra.
1. lépés: írja a polinomot a képlet segítségével.
2. lépés: számítsa ki a kombinációkat.
A kombinációk cseréjével a talált polinom a következő lesz:
Láthatja, hogy az ilyen esetek megoldása továbbra is fáradságos, a kitevőtől függően, de még így is gyorsabb, mint a disztributív tulajdonság felhasználásával történő kiszámítás. A számításhoz segítséget nyújtó eszköz Pascal háromszöge.
Pascal háromszöge
A Pascal háromszöget Blaise Pascal fejlesztette ki a kombinációk tanulmányozása során. Ő van olyan módon, amely megkönnyíti a kombinációk kiszámítását. A Pascal háromszög használatával gyorsabb és könnyebb megtalálni a Newton binomiális szó szerinti részeinek együtthatóit anélkül, hogy az összes kombinációt ki kellene számítani.
Pascal háromszögének közvetlen megalkotásához emlékezzünk két olyan helyzetre, ahol a kombináció számítása egyenlő 1-vel.
Így az összes sor első és utolsó tagja mindig egyenlő 1-vel. A központi kifejezések a fölötte levő kifejezés és az előző oszlop szomszédjának összegéből épülnek fel, az alábbi ábrán látható módon:
A következő sorok felépítéséhez ne feledje, hogy az első kifejezés 1, az utolsó pedig szintén. Ezután elég elvégezni az összegeket a központi kifejezések felfedezéséhez.
Hozzáférhet továbbá: Polinomiális bontási tétel
Példa: Számítsa ki (a + b) a hatodik hatványra.
1. lépés: alkalmazza a binomiál képletét.
2. lépés: konstruálja Pascal háromszögét a 6. vonalig.
3. lépés: cserélje ki a kombinációkat a 6. sor értékeivel, amelyek a binomiális kifejezések együtthatói.
Ami meghatározza a binomiálból felépítendő vonalak számát, az n értéke. Fontos megjegyezni, hogy az első sor nulla.
Newton binomiális általános fogalma
Newton általános binomiális kifejezés egy olyan képlet, amely lehetővé teszi számunkra a binomiális kifejezés kiszámítását anélkül, hogy a teljes polinomot ki kellene fejlesztenünk, vagyis azonosítsa az egyik kifejezést az elsőtől az utolsóig. A képlettel közvetlenül kiszámoljuk a keresett kifejezést.
A: első időszak
B: második időszak
n: kitevő
p + 1: keresési kifejezés
Példa: Keresse meg a binomiál 11. tagját (a + b)12.
Felbontás:
Lásd még: Tüntetések keresztül algebrai számítás
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - (Cesgranrio) Az x együtthatója4 a polinomban P (x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Felbontás
Meg akarunk találni egy konkrét kifejezést a binomiális megoldásában; ehhez meg kell találnunk a p értékét.
Tudjuk, hogy az első tag ebben az esetben egyenlő x-szel, tehát n - p = 4, mivel n = 6:
Ezért az együttható 60 (B alternatíva).
2. kérdés - (Unifor) Ha a binomiális fejlődés központi fogalma (4x + ky)10 8064x-re5y5, akkor a k értékének megfelelő alternatíva a következő lesz:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Felbontás: Tudjuk, hogy a központi kifejezés egyenlő együtthatóval rendelkezik (p = 5). Keressük meg a 6. tagot, mivel p + 1 = 6. Továbbá megvan, hogy a = 4x; b = ky és n = 10, tehát:
D. alternatíva
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm