O Pascal háromszöge ez egy elég régi matematikai eszköz. A történelem során számos nevet kapott, de ma a legtöbbet fogadták el számtani háromszög és Pascal háromszöge. A második név tisztelgés a matematikus előtt, aki többször is hozzájárult e háromszög tanulmányozásához. azt jelenti, hogy a háromszöget ő találta ki, de ő volt az, aki ezt mélyebben tanulmányozta eszköz.
A Pascal-háromszög tulajdonságaiból logikusan megszerkeszthető. Szintén kiemelkedik a tiéd kapcsolatban kombinációk kombinatorikus elemzésben tanulták. A Pascal-háromszög tagjai binomiális együtthatóknak is megfelelnek, ezért nagyon hasznos bármely Newton-binomiális kiszámításához.
Olvasd el te is: Briot-Ruffini eszköz - módszer polinomok felosztására
Pascal-háromszög felépítése
Pascal háromszöge a kombinációk eredményéből jön létre, azonban van egy praktikus módszer, amely megkönnyíti az elkészítését. Az első sor és az első oszlop nulla sornak és nulla oszlopnak számít. Annyi sort használhatunk, amennyi szükséges ebben a konstrukcióban ezért a háromszögnek végtelen sora lehet. A sorok kidolgozásának indoklása mindig ugyanaz. Néz:
Tudjuk A háromszög kifejezések kombinációk, ben tanult kombinatorikus elemzés. A Pascal-háromszög számértékekkel való helyettesítéséhez tudjuk, hogy a szám nullával és egy szám önmagával való kombinációja mindig egyenlő 1-gyel. Ezért az első és az utolsó érték mindig 1.
A többiek megkereséséhez a 2. sorral kezdjük, mivel a 0. és az 1. sor már kész. A 2. sorban a 2 és 1 közötti kombináció megtalálásához a fenti sorban, azaz az 1. sorban adjuk hozzá a felette lévő kifejezést ugyanabban az oszlopban és a felette lévő kifejezést az előző oszlopban, ahogy a képen látható. :
A 2. sor építése után lehetőség van a 3. sor megépítésére, ugyanezt az eljárást végrehajtva.
Ezt az eljárást folytatva minden kifejezést megtalálunk – jelen esetben az 5. sorig –, de lehetséges annyi vonalat építeni, amennyi szükséges.
A Pascal-háromszög tulajdonságai
Van néhány Pascal-háromszög tulajdonságai, felépítésének szabályossága miatt. Ezek a tulajdonságok hasznosak a kombinációkkal való munkavégzéshez, magának a háromszögvonalnak a felépítéséhez, valamint a vonalak, oszlopok és átlók összegzéséhez.
1. ingatlan
Az első ingatlan az volt, amelyet a háromszög felépítéséhez használtunk. Tehát ahhoz keress egy kifejezést a Pascal-háromszögben, csak adja hozzá a felette lévő sorban lévő kifejezést, és ugyanazt az oszlopot az oszlopban és az előtte lévő sorban lévő kifejezéssel. Ez a tulajdonság a következőképpen ábrázolható:
Ez az ingatlan az Stifel kapcsolata és fontos, hogy megkönnyítsük a háromszög felépítését, és megtaláljuk az egyes vonalak értékét.
2. ingatlan
Az egy sorban lévő összes kifejezés összegét a következőképpen számítjuk ki:
snem=2nem, min nem a sor száma.
Példák:
Ezzel a tulajdonsággal meg lehet tudni egy sor összes tagjának összege anélkül, hogy feltétlenül meg kellene konstruálnia Pascal-háromszöget. A 10-es sor összege például 2-vel számítható10 = 1024. Bár nem minden tag ismert, már lehet tudni a teljes sor összegének értékét.
3. ingatlan
Azon tagok összege, amelyek egy adott oszlop elejétől kezdődnek számára egy bizonyos vonalig nem megegyezik a sorban lévő kifejezéssel n+1 hát és oszlop p+1 később, az alábbiak szerint:
4. ingatlan
A 0 oszlopban kezdődő átló összege, amely a p oszlopban és az n sorban lévő taghoz megy, megegyezik az ugyanabban az oszlopban (p), de az alábbi sorban lévő taggal (n+1), ahogy az a képen látható. :
5. ingatlan
A Pascal-háromszög vonalaiban szimmetria van. Az első és a második tag egyenlő, a második és az utolsó előtti tag egyenlő, és így tovább.
Példa:
6. sor: 1615 20 156 1.
Ne feledje, hogy a kifejezések egyenlők kettő a kettővel, kivéve a központi tagot.
Lásd még: Polinom felosztás: hogyan lehet megoldani?
Newton binomiális
Meghatározzuk a Newton-binomiális a ereje egy polinom amelynek két kifejezése van. A binomiális számítás a Pascal-háromszöghöz kapcsolódik, amely az úgynevezett binomiális együtthatók kiszámításának mechanizmusává válik. A binomiális kiszámításához a következő képletet használjuk:
Vegye figyelembe, hogy a kitevő értéke Az addig csökken, amíg az utolsó tagban egyenlő lesz Az0. Tudjuk, hogy minden 0-ra emelt szám egyenlő 1-gyel, innen ered a kifejezés Az nem jelenik meg az utolsó kifejezésben. Vegye figyelembe azt is, hogy a kitevője B -vel kezdődik B0, hamar B nem jelenik meg az első tagban, és addig növekszik, amíg el nem éri Bnem, az utolsó félévben.
Továbbá az egyes kifejezéseket kísérő számot együtthatónak nevezzük – ebben az esetben binomiális együtthatónak nevezzük. Az ilyen típusú binomiális megoldások jobb megértéséhez olvassa el szövegünket: Newton binomiális.
binomiális együttható
A binomiális együttható nem más, mint a kombináció, amely a következő képlettel számítható ki:
A Newton-binomiális kiszámításának megkönnyítése érdekében azonban elengedhetetlen a Pascal-háromszög használata, mivel így gyorsabban megkapjuk a kombináció eredményét.
Példa:
A binomiális együttható eredményének meghatározásához keressük meg a Pascal-háromszög 5. sorának értékeit, amelyek {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+1 év5
Egyszerűen fogalmazva:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+y5
megoldott gyakorlatokat
1. kérdés - Az alábbi kifejezés értéke?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Felbontás
Alternatíva A.
A pozitív és negatív értékeket átcsoportosítva a következőket kell tenni:
Jegyezzük meg, hogy valójában a Pascal-háromszög 4. és 3. sora közötti kivonást számoljuk. Tulajdonképpen tudjuk, hogy:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
2. kérdés - Mi az alábbi kifejezés értéke?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Felbontás
B alternatíva.
Vegye figyelembe, hogy a Pascal-háromszög 1. oszlopának kifejezéseit hozzáadjuk a 7. sorhoz, majd a 3. tulajdonság, ennek az összegnek az értéke egyenlő a 7+1 sort és az 1+1 oszlopot elfoglaló taggal, azaz a 8. sort, 2. oszlop Mivel csak egy értéket akarunk, a teljes Pascal-háromszög összeállítása nem kényelmes.
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm