A geometriai középérték a számtani átlaggal és a harmonikus átlaggal együtt a pitagori iskola fejlesztette ki. Nál nél statisztikai elég gyakori a keresés egy adatkészlet egyetlen értékkel való ábrázolása a döntéshozatalhoz. A központi érték egyik lehetősége a geometriai középérték.
Hasznos olyan halmaz képviseletében, amelynek van adatok, amelyek közel viselkednek a geometriai progresszió, hogy megtalálja az oldalát is négyzet és a kocka, ismerve a területet és a térfogatot. A geometriai átlagot is alkalmazzuk a százalékos növekedés vagy csökkenés felhalmozódásának helyzetei. Az n értékkészlet geometriai átlagának kiszámításához kiszámítjuk a az elemek szorzatának n-edik gyöke, vagyis ha egy halmaznak például három tagja van, akkor megszorozzuk a hármat, és kiszámoljuk a szorzat köbgyökét.
Geometriai közép képlet
A geometriai középértéket arra használjuk, hogy a átlagos érték
adatsor között. A geometriai átlag kiszámításához két vagy több elemből álló halmaz szükséges. Legyen A A = (x1, x2, x3,... xnem), n elemű halmaz, ennek a halmaznak a geometriai átlagát az alábbiakkal számolják:
Olvassa el: Diszperziós mértékek: amplitúdó és eltérés
A geometriai átlag kiszámítása
Legyen A = {3,12,16,36}, mi lesz ennek a halmaznak a geometriai átlaga?
Felbontás:
A geometriai átlag kiszámításához először meg kell számolni a halmazban lévő kifejezések számát, n = 4 esetben. Tehát nekünk:
1. módszer: A szorzások végrehajtása.
Mivel nem mindig áll rendelkezésünkre számológép a végrehajtáshoz szorzások, lehetséges a számítás elvégzése az a faktorizálása alapján természetes szám.
2. módszer: Faktorizáció.
A faktorizációk segítségével:
A geometriai átlag alkalmazásai
A geometriai átlag bármely statisztikai adatkészletre alkalmazható, de általában az ban alkalmazott geometria, összehasonlítva az azonos térfogatú prizmák és kockák oldalait, vagy az azonos területû négyzeteket és téglalapokat. Van is alkalmazás pénzügyi matematikai problémák amely magában foglalja a felhalmozott százalékos arányt, vagyis százalék százalék alatt. Amellett, hogy a legkényelmesebb középpontja azoknak az adatoknak, amelyek geometriai progresszióként viselkednek.
1. példa: Alkalmazás százalékban.
Egy termék három hónapon át egymás után növekedett, az első 20%, a második 10%, a harmadik 25%. Mennyi volt az átlagos százalékos növekedés ezen időszak végén?
Felbontás
A termék kezdetben 100% -ba került, az első hónapban kezdett 120% -ba kerülni, amit tizedes formában 1,2-nek írnak. Ez az érvelés megegyezik a három növekedéssel, ezért a következő geometriai átlagot akarjuk megadni: 1,2; 1,1; és 1.25.
A növekedés átlagosan havi 18,2%.
Lásd még: Százalékszámítás három szabály alkalmazásával
2. példa: Alkalmazás a geometriában.
Mennyi legyen az x értéke a képen, tudva, hogy a négyzet és a téglalap azonos területtel rendelkezik?
Felbontás:
A négyzet oldalának x értékének megtalálásához kiszámítjuk a téglalap oldalai közötti geometriai átlagot.
Ezért a tér oldala 12 cm.
3. példa: Geometriai progresszió.
Mik a P.G. feltételei, tudva, hogy a központi érték elődje x, a központi érték 10, a központi érték utódja pedig 4x.
Felbontás:
Ismerjük a P.G. (x, 10,4x), és tudjuk, hogy az utód és az előd közötti geometriai átlag megegyezik a P.G. középtagjával, ezért meg kell:
A geometriai átlag és a számtani átlag közötti különbség
A statisztikákban az adatok viselkedése nagyon fontos az egyetlen érték kiválasztásához, amely azt ábrázolja. Ezért vannak és vannak központi típusú intézkedések típusú médiumok.
Meg kell választani, hogy melyik átlagot használja, figyelembe véve azt az adatsort, amelyen dolgozunk. Ahogy a példában látható, ha a geometriai progresszióhoz közel álló adatok és a legnagyobb exponenciális növekedésről van szó, akkor a geometriai átlagot javasoljuk.
Más helyzetekben többnyire a számtani átlagpéldául az egyén átlagos súlya az év folyamán. Ha összehasonlítjuk az azonos adatsor kétféle átlagának kiszámítását, a geometriai érték mindig kisebb lesz, mint a számtani.
Amikor összehasonlítjuk a számtani közép képletet a geometriai közép képlettel, észrevesszük a különbséget, mivel az előbbit kiszámítja kifejezések összege osztvaA a feltételek összegével, míg a másodikat, mint láttuk, az összes kifejezés szorzatának n-edik gyöke számítja ki.
4. példa: A halmaz (3, 9, 27, 81, 243) ismeretében vegye észre, hogy ez egy P.G. a 3-as arány, mivel az elsőtől a második tagig hárommal szorzunk, a másodiktól a harmadikig is, és így tovább. Amikor keresünk egy központi értéket, amely ezt a halmazt ábrázolja, ideális esetben a progresszió központi tagjának kell lennie, ami akkor történik, ha kiszámítjuk a geometriai átlagot. A számtani átlag kiszámításakor azonban a nagyobb értékek miatt ennek az átlagnak az értéke túl magas a halmaz feltételei, és minél nagyobb az érték, annál távolabb lesz a számtani átlag a központi kifejezés reprezentációjától.
Felbontás:
1. számtani átlag
2. geometriai átlag
Hozzáférhet továbbá: Divat, átlagos és mediána - központisági intézkedések
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - A benzin ára Brazíliában az elmúlt hónapokban nagy emelkedéseken ment keresztül. Az elmúlt 4 hónap havi növekedése 9%, 15%, 25% és 16% volt. Mennyi volt az átlagos százalékos növekedés ebben az időszakban?
a) 15%
b) 15,5%
c) 16%
d) 14%
e) 14,5%
Felbontás
A alternatíva
2. kérdés - A téglalap alapú prizma térfogata megegyezik a kocka méretével. Annak tudatában, hogy a prizma méretei 6 cm hosszúak, 20 cm magasak és 25 cm szélesek, mekkora értéke van a kocka oldalának centiméterben?
Felbontás:
D alternatíva
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/media-geometrica.htm