A trigonometria a matematika egyik fontos témája, amely lehetővé teszi az oldalak és szögek megismerését derékszögű háromszögben, a szinuszon, a koszinuszon és az érintőn keresztül, más trigonometrikus függvények mellett.
A tanulmányok fejlesztése és az ismeretek bővítése érdekében kövesse a 8 gyakorlat, plusz 4 felvételi vizsga kérdését, amelyeket lépésről lépésre oldottak meg.
1. Feladat
Reggel megfigyelve egy épület földön lévő árnyékát, egy ember azt találta, hogy az 63 métert mért, amikor a napsugár 30 ° -os szöget zár be a felszínnel. Ezen információk alapján számítsa ki az épület magasságát.
Helyes válasz: Körülbelül 36,37 m.
Az épület, az árnyék és a napsugár meghatározza a derékszögű háromszöget. A 30 ° -os szöget és az érintőt használva meghatározhatjuk az épület magasságát.
Mivel az épület magassága h, ezért:
2. gyakorlat
A 3 átmérőjű kerületen az AC szakasz, amelyet akkordnak hívunk, 90 ° -os szöget képez egy másik azonos hosszúságú CB akkorddal. Mi a húrok mértéke?
Helyes válasz: A kötél hossza 2,12 cm.
Mivel az AC és CB szegmensek 90 ° -os szöget képeznek és azonos hosszúságúak, a képződött háromszög egyenlő szárú, és az alapszögek egyenlőek.
Mivel egy háromszög belső szögeinek összege megegyezik 180 ° -kal, és már 90 ° -os szögünk van, maradt még egy 90 °, amelyet egyenlően el kell osztani a két alapszög között. Így ezek értéke megegyezik egyenként 45º-val.
Mivel az átmérő 3 cm, a sugár 1,5 cm, és a húr hosszának meghatározásához 45 ° -os koszinuszt használhatunk.
3. gyakorlat
Egy bajnokságban résztvevő kerékpáros a lejtő tetején közelít a célhoz. A vizsgálat utolsó részének teljes hossza 60 m, a rámpa és a vízszintes között kialakult szög 30 °. Ennek ismeretében számolja ki a kerékpárosnak felmászni kívánt függőleges magasságot.
Helyes válasz: A magasság 30 m lesz.
A h magasságnak hívva:
4. gyakorlat
A következő ábrát három háromszög alkotja, ahol a h magasság két derékszöget határoz meg. Az elem értékei:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Keresse meg az a + b értékét.
Helyes válasz:
A megadott szögek érintőinek felhasználásával meghatározhatjuk az a és b szakaszok mérését.
A számítása:
B kiszámítása:
Így,
5. gyakorlat
Egy repülőgép felszállt az A városból, és egyenes vonalban 50 km-t repült, míg leszállt a B városban. Utána még 40 km-t repült, ezúttal a D város felé tartott. Ez a két út 90 ° -os szöget zár be egymással. A kedvezőtlen időjárási körülmények miatt azonban a pilóta értesítést kapott az irányítótoronytól, amelyben arról tájékoztatták, hogy nem szállhat le a D városban, és vissza kell térnie az A városba.
Ahhoz, hogy a C pontról megforduljon, a pilótának hány fokos fordulatot kellene megtennie jobbra?
Fontolgat:
sin 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
sárgásbarna 51 ° = 1,25
Helyes válasz: A pilótának 129 ° -kal jobbra kell fordulnia.
Az ábrát elemezve azt látjuk, hogy az út egy derékszögű háromszöget képez.
Nevezzük azt a szöget, amelyet W-nek keresünk. A W és Z szög kiegészítő jellegű, azaz 180 ° -os sekély szöget képez.
Így W + Z = 180 °.
W = 180 - Z (1. egyenlet)
Most az a feladatunk, hogy meghatározzuk a Z szöget, és ehhez az érintőjét fogjuk használni.
Fel kell tennünk magunknak a kérdést: Mi az a szög, amelynek érintője 1,25?
A probléma megadja nekünk ezeket az adatokat, tan 51 ° = 1,25.
Ez az érték megtalálható egy trigonometrikus táblázatban vagy egy tudományos számológéppel is a következő funkcióval:
Helyettesítve a Z értékét az 1. egyenletben, megvan:
W = 180 ° - 51 ° = 129 °
6. gyakorlat
A monokromatikus fénysugár az egyik közegből a másikba haladva eltérést szenved el felé. Terjedésének ez a változása összefügg a közeg fénytörési mutatóival, amint azt a következő összefüggés mutatja:
Snell törvénye - Descartes
Ahol i és r az incidencia és a törés szöge, és n1 és n2 az 1. és 2. eszköz törésmutatói.
A levegő és az üveg közötti elválasztás felületének ütközésekor egy fénysugár megváltoztatja az irányát, amint azt az ábra mutatja. Mekkora az üveg törésmutatója?
Adatok: Légtörési index 1.
Helyes válasz: Az üveg törésmutatója egyenlő .
A rendelkezésünkre álló értékek cseréje:
7. gyakorlat
Ahhoz, hogy egy fatuskót a műhelyébe rángasson, egy lakatos kötelet kötött a rönkhöz, és tíz méterrel egy vízszintes felületen húzta. A húron átnyúló 40 N erő 45 ° -os szöget zár be a menetirányával. Számítsa ki az alkalmazott erő munkáját!
Helyes válasz: Az elvégzett munka körülbelül 84,85 J.
A munka skaláris mennyiség, amelyet az erő és az elmozdulás szorzata kap. Ha az erő iránya nem azonos az elmozdulással, akkor ezt az erőt le kell bontanunk, és csak az ebben az irányban lévő komponenst kell figyelembe vennünk.
Ebben az esetben meg kell szoroznunk az erő nagyságát a szög koszinuszával.
Tehát:
8. gyakorlat
Két hegy között két falu lakóinak nehéz utat kellett felfelé és lefelé haladniuk. A helyzet megoldása érdekében úgy döntöttek, hogy ferdekábeles hidat építenek az A és B falvak között.
Szükséges lenne kiszámítani a két falu közötti távolságot egy egyenesen, amelyen a híd kifeszül. Mivel a lakosok már tudták a városok magasságát és az emelkedési szögeket, ezt a távolságot ki lehetett számítani.
Az alábbi ábra alapján és annak tudatában, hogy a városok magassága 100 m, számítsa ki a híd hosszát.
Helyes válasz: A híd hossza megközelítőleg 157,73 m legyen.
A híd hossza a megadott szögekkel szomszédos oldalak összege. A h magasságnak hívva:
Számítás a 45 ° -os szöggel
Számítás 60 ° -os szöggel
A híd hosszának meghatározásához összegezzük a kapott értékeket.
1. kérdés
Cefet - SP
Az alábbi ABC háromszögben CF = 20 cm és BC = 60 cm. Jelölje meg az AF és BE szegmensek mérését.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Válasz: b) 10, 20
Az AF meghatározása
Megjegyezzük, hogy AC = AF + CF, ezért nekünk:
AF = AC - CF (1. egyenlet)
A CF-t a probléma adja, egyenlő 20 cm-rel.
Az AC meghatározható 30 ° szinusz segítségével.
A BC-t a probléma adja, 60 cm-rel egyenlő.
Helyettesítve az 1. egyenletet, megvan:
BE meghatározása
Első megfigyelés:
Ellenőrizzük, hogy a háromszög belsejében lévő ábra téglalap alakú-e, az ábrán meghatározott derékszögek miatt.
Ezért oldaluk párhuzamos.
Második megfigyelés:
A BE szegmens derékszögű háromszöget képez, amelynek szöge 30 °, ahol: a magasság megegyezik az AF-vel, amelyet éppen meghatároztunk, és BE a hipotenusz.
A számítás elvégzése:
A BE meghatározásához 30 ° szinuszt használunk
2. kérdés
EPCAR-MG
Egy repülőgép a B pontról a vízszinteshez képest állandó 15 ° -os dőlésszögben száll fel. B-től 2 km-re a 600 m magas hegylánc legmagasabb D pontjának C függőleges vetülete van, az ábrán látható módon.
Adatok: cos 15 ° = 0,97; sin 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
Helyes azt mondani, hogy:
a) A sík nem ütközik a fűrésszel, mielőtt eléri az 540 m-es magasságot.
b) 540 m magasságban ütközés következik be a sík és a fűrész között.
c) A sík összeütközik a D fűrészével
d) Ha a sík 220 m-rel B előtt száll le, ugyanazon dőlésszög fenntartásával, akkor a sík nem ütközik össze a fűrésszel.
Válasz: b) 540 m magasságban ütközés következik be a sík és a fűrész között.
Először a hosszmérési egységnek ugyanazt a többszörösét kell használni. Ezért 2 km-t megyünk 2000 m-re.
Ugyanezeket a kezdeti repülési feltételeket követve megjósolhatjuk azt a magasságot, amelyen a sík a C pont függőleges vetületében lesz.
A 15 ° -os érintőt használva és a magasságot h-ként határozva meg:
3. kérdés
ENEM 2018
Az egyenes kör alakú henger díszítéséhez egy téglalap alakú átlátszó papírcsíkot használnak, amelyre az alsó szélével 30 ° -ot képező átlót félkövérrel rajzolják. A henger tövének sugara 6 / π cm, és a szalag tekercselésekor hélix alakú vonalat kapunk, amint azt az ábra mutatja.
A henger magasságának centiméterben mért értéke:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Válasz: b) 24√3
Figyelve az ábrát, észrevesszük, hogy a henger körül 6 fordulat történt. Mivel ez egyenes henger, bárhol a magasságában egy kör lesz az alapja.
A háromszög alapjának mértékének kiszámításához.
A kör hossza a következő képletről kapható:
Ahol r az e sugár, egyenlő ,nekünk van:
Hogy van 6 kör:
Használhatjuk a 30 ° -os barnát a magasság kiszámításához.
4. kérdés
ENEM 2017
A napfény sugarai a felszínével X szögben érik el a tó felszínét, amint azt az ábra mutatja.
Bizonyos körülmények között feltételezhető, hogy e sugarak fényintenzitását a tó felszínén körülbelül I (x) = k adja meg. sin (x), k állandó, és feltételezve, hogy X 0 ° és 90 ° között van.
Amikor x = 30º, a fényerősség a maximális érték hány százalékára csökken?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Válasz: B) 50%
A függvényben a 30 ° szinuszértéket lecserélve a következőket kapjuk:
A k értékének felére csökkentésével az intenzitás 50%.
Gyakoroljon további gyakorlatokat:
Trigonometriai gyakorlatok
Bővítse ismereteit:
Trigonometria a derékszögű háromszögben
Metrikus kapcsolatok a téglalap háromszögben
Trigonometria
