Pitagoraszi tétel: Megoldott és kommentált gyakorlatok

Pythagoras tétele azt jelzi, hogy egy derékszögű háromszögben a négyzet alakú hipotenusz mértéke megegyezik a lábméretek négyzetének összegével.

Használja ki a megoldott és kommentált gyakorlatokat, hogy megválaszolja minden kétségét ezzel a fontos tartalommal kapcsolatban.

Javasolt gyakorlatok (felbontással)

1. kérdés

Carlos és Ana ugyanabból a pontról, az épület garázsából indultak haza dolgozni. 1 perc múlva, merőleges úton haladva, 13 m-re voltak egymástól.

Ha Carlos autója 7 m-rel többet tett meg Anaénál, akkor milyen messze voltak a garázstól?

a) Carlos 10 méterre volt a garázstól, Ana pedig 5 m-re.
b) Carlos 14 méterre volt a garázstól, Ana pedig 7 m-re.
c) Carlos 12 méterre volt a garázstól, Ana pedig 5 m-re.
d) Carlos 13 méterre volt a garázstól, Ana pedig 6 m-re.

Lásd: Válasz

Helyes válasz: c) Carlos 12 m-re volt a garázstól, Ana pedig 5 m-re.

A kérdésben kialakított derékszögű háromszög oldalai:

• hipotenusz: 13 m
• nagyobb láb: 7 + x
• rövidebb láb: x

A Pythagoras-tételben szereplő értékeket alkalmazva:

Most Bhaskara képletét alkalmazzuk az x értékének megtalálásához.

Mivel ez a hosszúság mértéke, a pozitív értéket kell használnunk. Ezért ebben a kérdésben a derékszögű háromszög oldalai a következők:

• hipotenusz: 13 m
• hosszabb láb: 7 + 5 = 12 m
• rövidebb láb: x = 5 m

Így Ana 5 méterre volt a garázstól, Carlos pedig 12 méterre.

2. kérdés

Carla, amikor a cicáját kereste, meglátta egy fa tetején. Ezután anyja segítségét kérte, és egy létrát tettek a fa mellé, hogy segítsenek a macskának.

Tudva, hogy a macska 8 méterre van a talajtól, és a létra alapja 6 méterre helyezkedik el a fától, mennyi ideig használták a létrát a cica megmentésére?

a) 8 méter.
b) 10 méter.
c) 12 méter.
d) 14 méter.

Lásd: Válasz

Helyes válasz: b) 10 méter.

Ne feledje, hogy a macska magassága és a létra alapjának elhelyezkedési távolsága derékszöget, azaz 90 fokos szöget alkot. Mivel a létra a derékszöggel szemben helyezkedik el, hossza megfelel a derékszögű háromszög hipotenuszának.

A Pythagoras tételben megadott értékeket alkalmazva felfedezzük a hipotenusz értékét.

Ezért a létra 10 méter hosszú.

3. kérdés

Az alábbi alternatívákban bemutatott intézkedések szerint melyik mutatja a derékszögű háromszög értékeit?

a) 14 cm, 18 cm és 24 cm
b) 21 cm, 28 cm és 32 cm
c) 13 cm, 14 cm és 17 cm
d) 12 cm, 16 cm és 20 cm

Lásd: Válasz

Helyes válasz: d) 12 cm, 16 cm és 20 cm.

Annak kiderítéséhez, hogy a bemutatott mérőszámok derékszögű háromszöget alkotnak-e, minden alternatívához alkalmaznunk kell a Pitagorasz-tételt.

a) 14 cm, 18 cm és 24 cm

b) 21 cm, 28 cm és 32 cm

c) 13 cm, 14 cm és 17 cm

d) 12 cm, 16 cm és 20 cm

Ezért a 12 cm, 16 cm és 20 cm méretek megfelelnek a derékszögű háromszög oldalainak, mivel a leghosszabb oldal, a hipotenúz négyzete megegyezik a lábak négyzetének összegével.

4. kérdés

Vegye figyelembe a következő geometriai ábrákat, amelyek egyik oldala a 3 m, 4 m és 5 m hosszú derékszögű háromszög hipotenuszában található.

Keresse meg a BCD egyenlő oldalú háromszög magasságát (h) és a BCFG négyzet átlós értékét (d).

a) h = 4,33 m és d = 7,07 m
b) h = 4,72 m és d = 8,20 m
c) h = 4,45 m és d = 7,61 m
d) h = 4,99 m és d = 8,53 m

Lásd: Válasz

Helyes válasz: a) h = 4,33 m és d = 7,07 m.

Mivel a háromszög egyenlő oldalú, ez azt jelenti, hogy három oldalának ugyanaz a mértéke. A háromszög magasságának megfelelő vonal rajzolásával két derékszögű háromszögre osztjuk.

Ugyanez igaz a négyzetre is. Amikor megrajzoljuk az átlós vonalát, két derékszögű háromszöget láthatunk.

A Pythagoras tételben szereplő állítás adatait alkalmazva az alábbiak szerint találjuk meg az értékeket:

1. A háromszög magasságának kiszámítása (derékszögű háromszög láb):

Ezután elérjük a magasság kiszámításának képletét. Most csak cserélje ki az L értékét és számítsa ki.

2. A négyzet átlójának kiszámítása (a derékszögű háromszög hipotenusa):

Ezért a BCD egyenlő oldalú háromszög magassága 4,33, a BCFG négyzet átlós értéke 7,07.

Lásd még: Pitagorasz tétel

A felvételi vizsga kérdései megoldottak

5. kérdés

(Cefet / MG - 2016) Egy sárkány, amelynek ábrája az alábbiakban látható, az ABCD négyszög alakjában épült, amely és . a bot a sárkány keresztezi a rudat az E középpontjában derékszöget képez. Ennek a sárkánynak az építése során a 25, illetve 20 cm, és a egyenlő mértékének .

Ilyen feltételek mellett a , cm-ben megegyezik

a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.

Lásd: Válasz

Helyes alternatíva: c) 55.

A kérdés ábráját figyelve azt látjuk, hogy a DE szegmens, amelyet meg akarunk találni, megegyezik a BD szegmenssel, levonva a BE szegmenst.

Tehát, mivel tudjuk, hogy a BE szegmens egyenlő 20 cm-rel, akkor meg kell találnunk a BD szegmens értékét.

Vegye figyelembe, hogy a probléma a következő információkat adja meg nekünk:

Tehát a BD mértékének megtalálásához tudnunk kell az AC szegmens értékét.

Mivel az E pont a szegmenst két egyenlő részre osztja (középpont), akkor . Ezért az első lépés a CE szegmens mérésének megtalálása.

A CE-mérés megtalálásához megállapítottuk, hogy a BCE háromszög téglalap, hogy BC a hipotenusz, BE és CE pedig a lábak, amint az az alábbi képen látható:

Ezután Pythagoras tételét alkalmazzuk a láb mértékének megtalálásához.

25² = 20²+ x²
625 = 400 + x²
x² = 625 - 400
x² = 225
x = √225
x = 15 cm

A gallér megtalálásához azt is megfigyelhettük, hogy a háromszög Pythagoreus-i, vagyis oldalainak mérése a 3, 4, 5 háromszög méréseinek többszöröse.

Így amikor 4-et megszorozunk 5-tel, megkapjuk a gallér értékét (20), és ha 5-öt megszorozzuk 5-tel, akkor megvan a (25) hipotenusz. Ezért a másik láb csak 15 lehet (5. 3).

Most, hogy megtaláltuk az EK értéket, megtalálhatjuk a többi intézkedést:

AC = 2. CE = AC = 2,15 = 30 cm

Ezért a mértéke 55 cm.

Lásd még: Pythagoras

6. kérdés

(IFRS - 2017) Tekintsünk egy egyenlő oldalú háromszöget, amelynek oldala 5√3 ܿ݉. Mekkora ennek a háromszögnek a magassága és területe?

Lásd: Válasz

Helyes alternatíva: e) 7,5 cm és 75√3 / 4 cm²

Először rajzoljuk meg az egyenlő oldalú háromszöget és ábrázoljuk a magasságot, az alábbi képen látható módon:

Vegye figyelembe, hogy a magasság az alapot ugyanazon mérték két szegmensére osztja, mivel a háromszög egyenlő oldalú. Vegye figyelembe azt is, hogy az ábrán látható ACD háromszög derékszögű háromszög.

Így a magasságmérés megtalálásához a Pitagorasz-tételt használjuk:

A magasságmérés ismeretében a képlet segítségével megtalálhatjuk a területet:

7. kérdés

(IFRS - 2016) Az alábbi ábrán x, illetve y értéke

Lásd: Válasz

Helyes alternatíva: a) 4√2 és √97.

Az x értékének megtalálásához alkalmazzuk Pythagoras tételét a derékszögű háromszögre, amelynek oldalai egyenlőek 4 cm-rel.

x² = 4² + 4²
x² = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm

Az y értékének megtalálásához Pythagoras tételét is felhasználjuk, tekintve, hogy az egyik láb 4 cm, a másik 9 cm (4 + 5 = 9).

y² = 4² + 9²
y² = 16 + 81
y = √97 cm

Ezért x, illetve y értéke 4√2 és √97.

8. kérdés

(Apprentice Sailor - 2017) Nézd meg az alábbi ábrát.

A fenti ábrán egy egyenlő szárú ACD háromszög található, amelyben az AB szegmens 3 cm, az egyenlőtlen AD oldal 10√2 cm, az AC és a CD merőleges. Ezért helyes kijelenteni, hogy a BD szegmens a következőket méri:

a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm

Lásd: Válasz

Helyes alternatíva: d) √149 cm

Figyelembe véve a problémában bemutatott információkat, elkészítjük az alábbi ábrát:

Az ábra szerint azt találjuk, hogy az x értékének megtalálásához meg kell találni az általunk a-nak nevezett oldal mértékét.

Mivel az ACD háromszög téglalap, a Pitagorasz-tételt alkalmazzuk az a láb értékének megtalálásához.

Most, hogy ismerjük az a értékét, megtalálhatjuk az x értékét a BCD derékszögű háromszög figyelembevételével.

Vegye figyelembe, hogy a BC láb megegyezik a láb mínusz 3 cm-es, azaz 10 - 3 = 7 cm-es mérésével. A Pitagorasz-tételt erre a háromszögre alkalmazva:

Ezért helyes kijelenteni, hogy a BD szegmens mérete √149 cm.

9. kérdés

(IFRJ - 2013) A Szövetségi Intézet Arrozal Campusán található sportudvar téglalap alakú, 100 m hosszú és 50 m széles, amelyet az ABCD téglalap jelenít meg ezen az ábrán.

Alberto és Bruno két diák, akik az udvaron sportolnak. Alberto az A pontról a C pontra sétál a téglalap átlója mentén, és ugyanazon az úton halad vissza a kiindulási ponthoz. Bruno a B pontról indul, teljesen körbejárja az udvart, az oldalvonalak mentén haladva visszatér a kiindulópontra. Így, figyelembe véve a √5 = 2,24 értéket, kijelenthető, hogy Bruno többet sétált, mint Alberto

a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.

Lásd: Válasz

Helyes alternatíva: c) 76 m.

A téglalap átlója két derékszögű háromszögre osztja, a hipotenusz átlós és oldalai megegyeznek a téglalap oldalaival.

Tehát az átlós mérték kiszámításához alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt:

Míg Alberto ment és visszatért, így 224 métert tett meg.

Bruno a téglalap kerületével megegyező távolságot tett meg, más szavakkal:

p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m

Ezért Bruno 76 m-rel gyalogolt tovább Alberto-nál (300 - 112 = 76 m).

10. kérdés

(Enem - 2017) A gyermek party-asztal díszítéséhez a séf gömb alakú, 10 cm átmérőjű dinnyét használ, amely a különféle édességek nyársaként szolgál. Az ábrán látható módon eltávolítja a dinnyéből a gömb alakú kupakot, és e támaszték stabilitásának biztosítása érdekében megnehezítve a dinnye gördülését az asztalon, a főnök úgy vág, hogy a körbevágott szakasz r sugara szőrös legyen. mínusz 3 cm. Másrészt a séf azt akarja, hogy a régióban a lehető legnagyobb terület legyen, ahol az édességeket rögzítik.

Minden cél elérése érdekében a főnöknek le kell vágnia a dinnye sapkáját h magasságban, centiméterben, egyenlő

Lásd: Válasz

Helyes alternatíva: c) 1

A kérdésben bemutatott ábrát figyelve megállapítottuk, hogy a h magasság úgy határozható meg, hogy csökkentjük az OA szakasz mérését a gömb sugárának mértékétől (R).

A gömb sugara (R) megegyezik az átmérőjének felével, amely ebben az esetben egyenlő 5 cm-rel (10: 2 = 5).

Meg kell tehát találnunk az OA szegmens értékét. Ehhez figyelembe vesszük az OAB háromszöget, amelyet az alábbi ábra ábrázol, és alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt.

5² = 3² + x²
x² = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm

Megtalálhatnánk közvetlenül az x értékét is, megjegyezve, hogy ez a Pythagoreus-i háromszög 3,4 és 5.

Tehát h értéke megegyezik:

h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm

Ezért a szakácsnak le kell vágnia a dinnye sapkáját 1 cm magasságban.

11. kérdés

(Enem - 2016 - 2. alkalmazás) A Boccia egy olyan sport, amelyet sík és sík terepen játszanak, peremfákkal korlátozottak. Ennek a sportnak a célja, hogy annak érdekében, hogy mesterséges anyagból készült golyókat dobjanak a golyók helyezze őket a lehető legközelebb a bolimhoz, amely egy kisebb, lehetőleg acélból készült golyó elindult. Az 1. ábra egy bocce labdát és egy bolimot mutat be, amelyeket a pályán játszottak. Tegyük fel, hogy egy játékos 5 cm sugarú labdát dobott, amely a bolimnak támaszkodott, 2 cm sugarú, ahogy a 2. ábra mutatja.

Tekintsük a C pontot a labda középpontjának, és az O pontot a labda közepének. Ismert, hogy A és B azok a pontok, amelyeknél a bocce labda és a bollin megérinti a pálya talaját, és hogy A és B távolsága egyenlő d-vel. Ilyen körülmények között mekkora az arány d és a bolim sugara között?

Lásd: Válasz

Helyes alternatíva: e) √10

Az A és B pont közötti d távolság értékének kiszámításához készítsünk egy ábrát, amely összeköti a két gömb középpontját, az alábbiak szerint:

Ne feledje, hogy a kék pontozott ábra trapéz alakú. Osszuk el ezt a trapézot, az alábbiak szerint:

A trapéz felosztásával téglalapot és derékszögű háromszöget kapunk. A háromszög hipotenusa megegyezik a bocce gömb és a bolim sugarának összegével, azaz 5 + 2 = 7 cm.

Az egyik láb mérése egyenlő d-vel, a másik láb mérése pedig megegyezik a CA szegmens mérésével, amely a bocce gömb sugara mínusz a bolim sugara (5 - 2 = 3) .

Ily módon megtalálhatjuk a d mértékét, ha a Pitagorasz-tételt alkalmazzuk erre a háromszögre, vagyis:

7² = 3² - nak,-nek²
d² = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10

Ezért a d távolság és a bolim közötti arányt az alábbiak adják meg:.

12. kérdés

(Enem - 2014) Naponta egy lakóhely 20 160 Wh-t fogyaszt. Ebben a rezidenciában 100 napelem található téglalap alakú (a napfény elektromos energiává alakítására alkalmas eszközök), mérete 6 cm x 8 cm. Minden ilyen sejt egész nap 24 Wh-t termel átlós centiméterenként. Ennek a háznak a tulajdonosa naponta pontosan annyi energiát akar termelni, amennyit a háza fogyaszt. Mit kell tennie ennek a tulajdonosnak érte, hogy elérje célját?

a) Távolítson el 16 cellát.
b) Távolítson el 40 cellát.
c) Adjon hozzá 5 cellát.
d) Adjunk hozzá 20 cellát.
e) Adjunk hozzá 40 cellát.

Lásd: Válasz

Helyes alternatíva: a) Távolítson el 16 cellát.

Először meg kell derítenie az egyes cellák energiatermelését. Ehhez meg kell találnunk a téglalap átlójának mértékét.

Az átló megegyezik a háromszög hipotenuszával, amelynek lábai 8 cm és 6 cm. Ezután a Pitagorasz-tétel alkalmazásával kiszámoljuk az átlót.

Megfigyeljük azonban, hogy a szóban forgó háromszög Pythagoreus-féle, a 3,4 és 5 háromszög többszöröse.

Ily módon a hipotenusz mérése egyenlő lesz 10 cm-rel, mivel a Pitagoraszi 3,4 és 5 háromszög oldalait megszorozzuk 2-vel.

Most, hogy ismerjük az átlós mérést, kiszámíthatjuk a 100 sejt által termelt energiát, azaz:

E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh

Mivel az elfogyasztott energia egyenlő 20 160 Wh-vel, csökkentenünk kell a sejtek számát. Hogy megtalálja ezt a számot, megtesszük:

24 000 - 20 160 = 3840 Wh

Ha ezt az értéket elosztjuk egy sejt által előállított energiával, megtaláljuk a csökkenteni kívánt számot, vagyis:

3840: 240 = 16 sejt

Ezért a tulajdonosnak 16 cellát kell eltávolítania a cél elérése érdekében.

További információkért lásd még: Trigonometriai gyakorlatok