Átlag, divat és medián

Az átlag, a mód és a medián a statisztikákban használt központi tendencia mutatói.

Átlagos

Az átlag (M_és) kiszámítása úgy történik, hogy összeadjuk az adathalmaz összes értékét, és elosztjuk a halmaz elemeinek számával.

Mivel az átlag a mintaértékekre érzékeny mérték, ezért alkalmasabb azokra a helyzetekre, ahol az adatok többé-kevésbé egyenletesen oszlanak el, vagyis nagy eltérések nélküli értékek.

Képlet

Lény,

M_és: átlagos
x₁, x₂, x₃,..., x_nem: adatértékek
n: az adatkészlet elemek száma

Példa

A kosárlabda csapat játékosainak életkora a következő: 28, 27, 19, 23 és 21 év. Mi ennek a csapatnak az átlagéletkora?

Megoldás

Olvasd el te is Egyszerű átlag és súlyozott átlag és Geometriai átlag.

Divat

Divat (M_O) az adatkészlet leggyakoribb értékét képviseli, ezért annak definiálásához elég megfigyelni az értékek megjelenési gyakoriságát.

Az adatkészletet akkor hívják bimodálisnak, ha két módja van, vagyis két érték gyakoribb.

Példa

Egy cipőboltban egy napra a következő cipőszámokat adták el: 34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 és 41. Mi a divat értéke ennek a mintának?

Megoldás

Figyelve az eladott számokat, észrevettük, hogy a 36-os szám volt a legmagasabb frekvenciájú (3 pár), ezért az üzemmód megegyezik:

M_O = 36

középső

A medián (M._d) az adatkészlet alapvető értékét képviseli. A mediánérték megtalálásához szükséges az értékeket növekvő vagy csökkenő sorrendbe helyezni.

Ha egy halmazban az elemek száma páros, a medián a két központi érték átlaga alapján található. Így ezeket az értékeket összeadjuk és elosztjuk kettővel.

Példák

1) Egy iskolában a testnevelő tanár felírta egy tanulócsoport magasságát. Figyelembe véve, hogy a mért értékek a következők voltak: 1,54 m; 1,67 m, 1,50 m; 1,65 m; 1,75 m; 1,69 m; 1,60 m; 1,55 m és 1,78 m, mekkora a diákok középmagasságának értéke?

Megoldás

Először rendbe kell hoznunk az értékeket. Ebben az esetben növekvő sorrendbe állítjuk. Így az adatkészlet a következő lesz:

1,50; 1,54; 1,55; 1,60; 1,65; 1,67; 1,69; 1,75; 1,78

Mivel a halmaz 9 elemből áll, ami páratlan szám, akkor a medián egyenlő lesz az 5. elemmel, vagyis:

M_d = 1,65 m

2) Számítsa ki a következő adatminta medián értékét: (32, 27, 15, 44, 15, 32).

Megoldás

Először rendbe kell hoznunk az adatokat, így:

15, 15, 27, 32, 32, 44

Mivel ez a minta 6 elemből áll, ami páros szám, a medián egyenlő lesz a központi elemek átlagával, vagyis:

Ha többet szeretne megtudni, olvassa el még:

• Statisztikai
• Disperziós intézkedések
• Variancia és szórás

Megoldott gyakorlatok

1. (BB 2013 - Carlos Chagas Alapítvány). A hét első négy munkanapján egy bankfiók vezetője 19, 15, 17 és 21 ügyfelet szolgált ki. A hét ötödik munkanapján ez a menedzser n ügyfelet vett fel.

Ha a menedzser által kiszolgált átlagos ügyfelek száma a hét öt munkanapján 19 volt, akkor a medián volt

a) 21.
b) 19.
c) 18.
d) 20.
e) 23.

Lásd: Válasz

Bár már ismerjük az átlagot, először is tudnunk kell az ötödik munkanapon kiszolgált ügyfelek számát. Így:

A medián megtalálásához az értékeket növekvő sorrendbe kell tennünk, így: 15, 17, 19, 21, 23. Ezért a medián 19.

Alternatíva: b) 19.

2. (ENEM 2010 - 175. kérdés - Prova Rosa). Az alábbi táblázat egy futballcsapat teljesítményét mutatja az elmúlt bajnokságban.

A bal oldali oszlop mutatja a szerzett gólok számát, a jobb oldali pedig azt, hogy hány meccsen szerezte a csapat ezt a gólt.

Gólok lőttek	Mérkőzések száma
0	5
1	3
2	4
3	3
4	2
5	2
7	1

Ha X, Y és Z ennek az eloszlásnak az átlagos, medián és módja, akkor

a) X = Y b) Z c) Y d) Z d) Z

Lásd: Válasz

Számolnunk kell az átlagot, a mediánt és a módot. Az átlag kiszámításához hozzá kell adnunk a gólok számát és el kell osztanunk a mérkőzések számával.

A gólok teljes számát a kapott gólok és a mérkőzések számának szorzatával kell meghatározni:

Összes cél = 0,5 + 1,3 + 2,4 + 3,3 + 4,2 + 5,2 + 7,1 = 45

Ha a mérkőzések teljes összege 20, a gólok átlaga megegyezik:

A divatérték megtalálásához ellenőrizzük a leggyakoribb gólszámot. Ebben az esetben megjegyezzük, hogy 5 mérkőzésen nem született gól.

Ezen eredmény után a 2 gólos mérkőzések voltak a leggyakoribbak (összesen 4 mérkőzés). Ebből kifolyólag,

Z = M_O = 0

A medián a gólszámok sorrendbe helyezésével lesz megtalálható. Mivel a játékok száma 20 volt, ami egyenletes érték, ezért a két központi érték közötti átlagot kell kiszámítanunk, így:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7

Ezekkel az eredményekkel tudjuk, hogy:

X (átlag) = 2,25
Y (medián) = 2
Z (mód) = 0

Vagyis Z

Alternatíva: e) Z

Lásd még:

• A grafika típusai
• Szórás
• Statisztika - Gyakorlatok
• Matematika az Enem-ben