A háromszögek hasonlósága: Megjegyzett és megoldott gyakorlatok

A háromszögszerűség egy háromszög ismeretlen mértékének megkeresésére szolgál egy másik háromszög mértékének ismeretében.

Ha két háromszög hasonló, a megfelelő oldaluk mérése arányos. Ezt a kapcsolatot számos geometriai probléma megoldására használják.

Tehát használja ki a kommentált és megoldott gyakorlatokat minden kétsége megoldásához.

A kérdések megoldódtak

1) Tengerész tanonc - 2017

Lásd az alábbi ábrát

Egy épület 30 m hosszú árnyékot vet a földre ugyanabban a pillanatban, mint egy 6 m magas ember 2,0 m-es árnyékot. Elmondható, hogy az épület magassága megéri

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Lásd: Válasz

Figyelembe vehetjük, hogy az épület, annak vetített árnyéka és a napsugár háromszöget alkot. Hasonlóképpen van egy háromszögünk is, amelyet az ember, az árnyéka és a napsugár alkot.

Figyelembe véve, hogy a napsugarak párhuzamosak, és hogy az épület, a talaj és az ember közötti szög a talaj 90 ° -kal egyenlő, az alábbi ábrán látható háromszögek hasonlóak (két szög egyenlő).

Mivel a háromszögek hasonlóak, a következő arányt írhatjuk fel:

Alternatíva: a) 27 m

2) Fuvest - 2017

Az ábrán az ABCD téglalap AB = 4 és BC = 2 oldalúak. Legyen M az oldal felezőpontja és N az oldal felezőpontja . A szegmensek elfogja a szegmenst az E, illetve az F pontban.

Az AEF háromszög területe egyenlő

Lásd: Válasz

Az AEF háromszög területe megtalálható az ABE háromszög területének csökkentésével az AFB háromszög területéről, az alábbiak szerint:

Kezdjük azzal, hogy megkeresjük az AFB háromszög területét. Ehhez meg kell találnunk ennek a háromszögnek a magasságát, mivel az alapérték ismert (AB = 4).

Vegye figyelembe, hogy az AFB és a CFN háromszögek hasonlóak, mivel két egyenlő szöget zárnak be (AA eset), amint az az alábbi ábrán látható:

Ábrázoljuk a H magasságot₁az AB oldalához képest az AFB háromszögben. Mivel a CB oldal mértéke egyenlő 2-vel, úgy tekinthetjük, hogy az NC oldal relatív magassága az FNC háromszögben egyenlő 2 - H₁.

Ezután felírhatjuk a következő arányt:

A háromszög magasságának ismeretében kiszámíthatjuk annak területét:

Az ABE háromszög területének megkereséséhez ki kell számolnia a magasság értékét is. Ehhez azt a tényt fogjuk használni, hogy az ABM és az AOE háromszögek, amelyeket az alábbi ábra mutat, hasonlóak.

Ezenkívül az OEB háromszög derékszögű háromszög, a másik két szög pedig egyenlő (45º), tehát egyenlő szárú háromszög. Így ennek a háromszögnek a két lába H-t ér₂, mint az alábbi kép:

Így az AOE háromszög oldalsó AO értéke 4 - H_2. Ezen információk alapján a következő arányt jelölhetjük meg:

A magasságérték ismeretében kiszámíthatjuk az ABE háromszög területét:

Így az AFE háromszög területe egyenlő lesz:

Alternatíva: d)

3) Cefet / MG - 2015

Az alábbi ábra egy téglalap alakú biliárdasztalt ábrázol, szélessége és hossza 1,5, illetve 2,0 m. A játékosnak el kell dobnia a fehér labdát a B pontról, és el kell ütnie a fekete labdát a P ponton, anélkül, hogy eltalálná a többi labdát. Mivel a sárga az A pontban van, ez a játékos a fehér labdát az L pontra dobja, hogy az ugrálhasson és ütközhessen a feketével.

Ha a labda beesési útjának szöge az asztal oldalán és az ugráló szög megegyezik, ahogy az ábrán látható, akkor a P és Q távolsága cm-ben kb.

a) 67
b) 70
c) 74.
d) 81

Lásd: Válasz

Az alábbi képen pirossal jelölt háromszögek hasonlóak, mivel két egyforma szöget zárnak be (az α és 90 ° szögek).

Ezért a következő arányt írhatjuk fel:

Alternatíva: a) 67

4) Katonai Főiskola / RJ - 2015

Az ABC háromszögben a D és az E pont az AB és az AC oldalhoz tartozik, és olyan, hogy DE / / BC. Ha F olyan AB pont, hogy az EF / / CD, valamint az AF és FD e mérései 4, illetve 6, akkor a DB szegmens mérése:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Lásd: Válasz

Az ABC háromszöget ábrázolhatjuk az alábbiak szerint:

Mivel a DE szakasz párhuzamos a BC-vel, akkor az ADE és az ABC háromszögek hasonlóak, mivel szögeik egybevágnak.

Ezután felírhatjuk a következő arányt:

A FED és a DBC háromszögek szintén hasonlóak, mivel az FE és a DC szegmens párhuzamos. Így a következő arány is igaz:

Ebben az arányban elkülönítve az y-t:

Az y érték cseréje az első egyenlőségben:

Alternatíva: a) 15

5) Epcar - 2016

A derékszögű háromszög alakú földterületet két részre osztja egy kerítés, amelyet a hipotenusz felezőjére készítettek, az ábra szerint.

Ismeretes, hogy ennek a terepnek az AB és a BC oldala 80, illetve 100 m. Így az I. tétel kerülete és a II. Tétel kerülete közötti arány ebben a sorrendben

Lásd: Válasz

A kerületek közötti arány megismeréséhez ismerni kell az I. és a II. Ábra minden oldalának értékét.

Ne feledje, hogy a hipotenusz felezője a BC oldalt két egybevágó szakaszra osztja, így a CM és az MB szegmens 50 m.

Mivel az ABC háromszög téglalap, ezért a Pythagorasz-tétel segítségével kiszámíthatjuk az AC oldalt. Azonban vegye figyelembe, hogy ez a háromszög Pythagoreus-háromszög.

Így, ha a hipotenusz egyenlő 100 (5. 20), az egyik két láb pedig 80 (4,20), akkor a másik láb csak 60 (3,20) lehet.

Azt is megállapítottuk, hogy az ABC és az MBP háromszögek hasonlóak (AA eset), mivel közös szöget zárnak be, a másikuk pedig 90 °.

Tehát az x értékének megtalálásához a következő arányt írhatjuk fel:

Z értéke megtalálható az arányt figyelembe véve:

Megtalálhatjuk y értékét is:

Most, hogy minden oldalt ismerünk, kiszámíthatjuk a kerületeket.

Az I. ábra kerülete:

A II. Ábra kerülete:

Ezért a kerületek közötti arány megegyezik:

Alternatíva: d)

6) Ellenség - 2013

A gazdaság tulajdonosa egy tartó rudat akar elhelyezni két 6 m és 4 m hosszú oszlop jobb rögzítésére. Az ábra azt a valós helyzetet mutatja, amelyben az oszlopokat az AC és BD szegmensek és a rúd írják le az EF szegmens képviseli, mind merőleges a talajra, amelyet az egyenes szakasz jelöl AB. Az AD és a BC szegmens a beépítendő acél kábeleket jelenti.

Mi legyen az EF rúdhossz értéke?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m

Lásd: Válasz

A probléma megoldásához hívjuk a szármagasságot as z valamint az AF és FB szegmensek mérése x és y, illetve az alábbiak szerint:

Az ADB háromszög annyiban hasonlít az AEF háromszöghez, hogy mindkettő szöge 90 ° és közös szöge, tehát hasonlóak az AA esetében.

Ezért a következő arányt írhatjuk fel:

"Keresztben" szorozva megkapjuk az egyenlőséget:

6x = h (x + y) (I)

Másrészt az ACB és FEB háromszögek is hasonlóak lesznek, ugyanazon okok miatt, amelyeket fentebb bemutattunk. Tehát megvan az arány:

Megoldás ugyanúgy:

4y = h (x + y) (II)

Megjegyezzük, hogy az (I) és (II) egyenletek azonos kifejezéssel rendelkeznek az egyenlőségjel után, így azt mondhatjuk, hogy:

6x = 4y

Az x értékének behelyettesítése a második egyenletbe:

Alternatíva: c) 2,4 m

7) Fuvest - 2010

Az ábrán az ABC háromszög téglalap alakú, BC = 3 és AB = 4 oldalakkal. Ezenkívül a D pont a kulcscsonthoz tartozik. , a kulcscsonthoz tartozó E pont és az F pont a hipotenuszhoz tartozik , oly módon, hogy a DECF egy paralelogramma. ha , tehát a DECF paralelogramma területe megéri

Lásd: Válasz

A paralelogramma területét úgy kapjuk meg, hogy az alapértéket megszorozzuk a magassággal. Nevezzük h-nek a magasságot és x az alapméretet, az alábbiak szerint:

Mivel a DECF egy paralelogramma, oldalai párhuzamosan párhuzamosak. Ily módon az AC és a DE párhuzamosak. Tehát a szögek ezek ugyanazok.

Ezután azonosíthatjuk, hogy az ABC és a DBE háromszögek hasonlóak (AA eset). Megállapítottuk azt is, hogy az ABC háromszög hipotenusa egyenlő 5-vel (3,4 és 5 háromszög).

Írjuk így a következő arányt:

Az alap x mértékének megtalálásához a következő arányt vesszük figyelembe:

A paralelogramma területének kiszámításakor:

Alternatíva: a)