A prizma területe: hogyan kell kiszámolni, példák, gyakorlatok

Prizmák háromdimenziós alakok alkotják két egybevágó és párhuzamos alap, az alapokat viszont az alkotja konvex sokszögek. A többi oldalnak nevezett arcot az alkotja paralelogrammák. A prizma területének meghatározásához el kell végezni azt tervezés majd számolja ki a lapos ábra területét.

Olvassa el: Különbségek a lapos és a térbeli ábrák között

A prizma megtervezése

A tervezés ötlete egy háromdimenziós alak átalakítása a-vá kétdimenziós ábra. A gyakorlatban ez egyenértékű lenne a prizma éleinek átvágásával. Az alábbiakban egy példa egy háromszög alakú prizma tervezésére.

Ugyanaz a folyamat alkalmazható minden prizma esetébenugyanakkor vegye figyelembe, hogy amint növeljük az alap sokszögek oldalainak számát, a feladat egyre nehezebbé válik. Emiatt általánosításokat fogunk tenni ennek megtervezése alapján poligon.

Az oldalsó terület kiszámítása

A háromszög alakú prizma képét szemlélve megállapíthatjuk, hogy az ABFC, ABFD és ACDE párhuzamosok oldalsó arcok. Vegye figyelembe, hogy a A prizma oldalai mindig paralelogrammák lesznek

függetlenül az alap sokszögek oldalainak számától, ez azért történik, mert párhuzamosak és egybevágóak.

A háromszög alakú prizmafigurát nézve azt is látjuk, hogy három oldalirányú arcunk van. Ennek oka az alap sokszög oldalainak száma, vagyis ha a prizma alapok négyszögek, négy oldalfelületünk lesz, ha az alapok ötszögek, akkor öt oldalfelületünk lesz stb. Így: az alap sokszög oldalainak száma befolyásolja a prizma oldalainak számát.

Ezért a oldalsó terület (A_L) bármely prizma egy oldalirányú felület területe, szorozva az oldalirányú oldalak számával, vagyis a paralelogramma területe szorozva az arc oldalainak számával.

A_L = (alap · magasság) · az arc oldalainak száma

• Példa

Számítsa ki a szabályos hatszögű prizma oldalterületét, amelynek alapszéle 3 cm és magassága 11 cm.

A szóban forgó prizmát a következők képviselik:

Ezután az oldalfelületet kiszámítja a téglalap területe és az alap sokszög oldalainak száma, azaz 6:

A_L = (alap · magasság) · az arc oldalainak száma

A_L = (3 · 11) · 6

A_L = 198 cm²

Az alapterület kiszámítása

A prizmák különböző alakúak lehetnek.

A alapterület (A_B) egy prizma az azt alkotó sokszögetől függ. Mivel egy prizmában két párhuzamos és egybevágó oldalunk van, az alapterületet a párhuzamos sokszögek területének összege adja meg, vagyis a sokszög területének kétszerese.

A_B = 2 · sokszög területe

Olvassa el:Lapos alakzatok

• Példa

Számítsa ki a szabályos hatszögű prizma alapterületét, amelynek alapszéle 3 cm, magassága pedig 11 cm.

Ennek a prizmának az alapja egy szabályos hatszög, és ez felülről nézve így néz ki:

Vegye figyelembe, hogy a háromszögek a hatszög belsejében kialakult egyenlő oldalúak, tehát a hatszög területét a hatszorosa adja meg egyenlő oldalú háromszög területe.

Azonban vegye figyelembe, hogy a prizmában két hatszögünk van, tehát az alapterület kétszerese a sokszög területének.

A teljes terület kiszámítása

A teljes terület (A_T) egy prizma értékét az oldalsó terület összege adja meg (A_L) az alapterülettel (A_B).

A_T = A_L + A_B

• Példa

Számítsa ki a szabályos hatszögű prizma teljes területét, amelynek alapszéle 3 cm, magassága pedig 11 cm.

Az előző példákból megvan, hogy A_L = 198 cm² és a_B = 27√3 cm². Ezért a teljes területet az alábbiak adják meg:

megoldott gyakorlatok

1. kérdés - A fészer olyan alakú, mint egy prizma, amely trapézon alapszik, amint az az ábrán látható.

Ezt a fészket szeretné lefesteni, és ismert, hogy a festék ára 20 reál négyzetméterenként. Mennyibe fog kerülni ennek a fészernek a kifestése? (Adva: √2 = 1,4)

Megoldás

Kezdetben határozzuk meg a fészer területét. Alapja egy trapéz, tehát:

Ezért az alapterület:

A_B = 2 · A_trapéz

A_B = 2 ·10

A_B = 20 m²

A piros oldalsó rész téglalap, és az alsó részünk van, tehát ez a terület:

A_V = 2 · 4· 14

A_V= 112 m²

A kék színű terület szintén téglalap, de nincs meg az alapja. Használni a Pitagorasz tétel a trapéz által alkotott háromszögben:

x² = 2² + 2²

x² = 8

x = 2√2

Tehát a kék színű téglalap területe:

A_A = 2 ·14·2√2

A_A = 54√2 m²

Ezért a prizma oldalirányú területe egyenlő:

A_L = 112 + 54√2

A_L = 112 + 75,6

A_L = 187,6 m²

Tehát ennek a prizmának a teljes területe:

A_T= 20 + 187,6

A_T= 207,6 m²

Mivel a festék ára 20 reál négyzetméterenként, a fészer festésére fordított összeg:

20 · 207,6 = 4152 reál

Válasz: Az istálló festésére költött összeg 4152,00 R $

írta Robson Luiz
Matematikatanár

Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-area-um-prisma.htm