Egy konvex sokszög belső és külső szögeinek összege

Ön konvex sokszögek azok, amelyeknek nincs homorúsága. Annak megállapításához, hogy a sokszög domború-e vagy sem, meg kell figyelnünk, hogy az ábra bármely végének egyenes szakasza nem halad át a külső régión.

A konvex sokszögekben vannak olyan képletek, amelyek lehetővé teszik a belső és a külső szög összegének meghatározását. Nézd meg!

Egy konvex sokszög belső szögeinek összege

A képlet konvex sokszög belső szögeinek összege n oldallal:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Demonstráció:

Ha megnézzük, látni fogjuk, hogy minden konvex sokszög bizonyos számú háromszögre osztható. Néhány példa:

Tehát, emlékezve arra, hogy a egy háromszög belső szögeinek összege mindig egyenlő 180 ° -kal, láthatjuk, hogy a fenti ábrákon a belső szögek összegét az a háromszög adja meg, amelyet az ábra 180 ° -szor megoszthat:

négyszög: 2 háromszög ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 2 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$
Pentagon: 3 háromszög ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}}$
Hatszög: 4 háromszög ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 4 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 720 ^ {\ circ}}$

Tehát ahhoz, hogy képletet kapjunk egy konvex sokszög belső szögeinek összegének kiszámításához, csak azt kell tudnunk, általában véve, hogy egy konvex sokszög hány háromszögre osztható.

instagram story viewer

Ha megfigyeljük, összefüggés van ez a mennyiség és az ábrák oldalainak száma között. A háromszögek száma megegyezik az ábra mínusz 2 oldalának számával, azaz:

$\ dpi {120} \ mathrm {\, tri \ hat {a} szög = n - 2} összesen$

Négyszög: 4 oldal ⇒ n - 2 = 4 - 2 = 2
Pentagon: 5 oldal ⇒ n - 2 = 5 - 2 = 3
Hatszög: 6 oldal ⇒ n - 2 = 6 - 2 = 4

Tehát általában a konvex sokszög belső szögeinek összegét a következő adja meg: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Melyik képletet akartuk bemutatni.

Példa:

Keresse meg egy domború ikozagon belső szögeinek összegét.

Az ikozagon egy 20 oldalú sokszög, azaz n = 20. Cseréljük ki ezt az értéket a képletbe:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (20-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 18 \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3240 ^ {\ circ}}$

Ezért a konvex ikozagon belső szögeinek összege 3240 °.

A sokszög külső szögeinek összege

A konvex sokszög külső szögeinek összege mindig egyenlő 360 ° -kal, vagyis:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_e = 360 ^ {\ circ}}$

Demonstráció:

Nézzen meg néhány ingyenes tanfolyamot

Ingyenes online inkluzív oktatási tanfolyam
Ingyenes online játékkönyvtár és tanfolyam
Ingyenes online matematikai játékok tanfolyama a kisgyermekkori oktatásban
Ingyenes online pedagógiai kulturális műhelytanfolyam

Példákkal bemutatjuk, hogy egy konvex sokszög külső szögeinek összege nem függ az ábra oldalainak számától, és mindig egyenlő 360 ° -kal.

Négyszög:

négyszög Vegye figyelembe, hogy minden belső szög 180 ° -os szöget képez a külső szöggel. Tehát, mivel négy csúcs van, az összes szög összegét 4 adja meg. 180° = 720°.

Azaz: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 720 ^ {\ circ}}$

Hamar:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - S_i}$

Egyszer $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 360 ^ {\ circ}}$ , azután:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - 360 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$

Pentagon:

Az ötszögben 5 csúcsunk van, tehát az összes szög összegét 5 adja meg. 180° = 900°. Hamar: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 900 ^ {\ circ}}$ . Azután: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - S_i}$ . Egyszer $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 540 ^ {\ circ}}$ , azután: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - 540 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Hatszög:

A hatszögben 6 csúcsunk van, tehát az összes szög összegét 6 adja meg. 180° = 1080°. Hamar: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1080 ^ {\ circ}}$ . Azután: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - S_i}$ . Egyszer $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 710 ^ {\ circ}}$ , azután: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - 720 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Amint láthatja, mindhárom példában a külső szögek összege, $\ dpi {120} \ mathrm {S_e}$ , 360 ° -ot eredményezett.

Példa:

A sokszög belső és külső szögeinek összege 1800 °. Mi ez a sokszög?

Nekünk van: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1800 ^ {\ circ}}$ . Tudva ezt bármely sokszögben $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 360 ^ {\ circ}}$ , akkor megvan: