A A 2. fokú egyenletet jellemezzük egynek polinom fokú, azaz ax típusú polinom2+ bx + c, ahol A, B és ç ők valós számok. A 2. fokú egyenlet megoldása során érdekeltek vagyunk az ismeretlen értékeinek megtalálásában. x ami a kifejezés értékét 0-val egyenlővé teszi, amelyeket gyökeknek, azaz ax-nak nevezünk2 + bx + c = 0.
Olvasd el te is: Különbségek a függvény és az egyenlet között
A 2. fokú egyenletek típusai
A 2. fokú egyenlet lehet ábrázolja ax² + bx + c = 0, ahol az együtthatók A, B és ç valós számok, a A ≠ 0.
→ Példák
a) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 és c = - 6
b) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 és c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 és c = -1
A 2. fokú egyenlet besorolása: teljes amikor az összes együttható eltér 0-tól, vagyis A ≠ 0, B ≠ 0 és ç ≠ 0.
A 2. fokú egyenlet besorolása: befejezetlen amikor az együtthatók értéke B vagy ç értéke 0, azaz b = 0 vagy c = 0.
→ Példák
a) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 és c = - 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 és c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b = 0 és c = 0
Fel a fejjel: az együttható értéke A soha nem egyenlő 0-val, ha ez megtörténik, az egyenlet már nem 2. fok.
Hogyan lehet megoldani a 2. fokú egyenleteket?
A 2. fokú egyenlet megoldása akkor következik be, amikor a gyökerei találhatók, vagyis a hozzájuk rendelt értékek x. Ezek az értékei x igaznak kell lennie az egyenlőségnek, vagyis a x a kifejezésben az eredménynek 0-nak kell lennie.
→ Példa
Figyelembe véve az x egyenletet2 - 1 = 0 megvan, hogy x ’= 1 és x’ ’= - 1 az egyenlet megoldása, mert ezeket az értékeket behelyettesítve a kifejezésbe valódi egyenlőségünk van. Néz:
x2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 és (–1)2 – 1 = 0
A megoldás megtalálásához a egyenlet, elemezni kell, hogy az egyenlet teljes-e és hiányos-e, és ki kell választani, hogy melyik módszert fogják használni.
Megoldási módszer a típusú egyenletekhez ax²+ c = 0
A hiányos egyenletek megoldásának meghatározására szolgáló módszer B=0az ismeretlen elszigeteléséből áll x, így:
→ Példa
Keresse meg az egyenlet gyökereit 3x2 – 27 = 0.
Ha többet szeretne megtudni erről a módszerről, látogasson el ide: 2. fokú hiányos egyenlet null együtthatóval b.
Megoldási módszer a típusú egyenletekhez fejsze2 + bx = 0
Az egyenlet lehetséges megoldásának meghatározására szolgáló módszer ç = 0, a bizonyítékfaktorozás. Néz:
fejsze2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
Az utolsó egyenlőség figyelembevételével észrevehető, hogy szorzás van, és ahhoz, hogy az eredmény 0 legyen, szükséges, hogy legalább az egyik tényező 0-val egyenlő legyen.
x · (ax + b) = 0
x = 0 vagy ax + b = 0
Így az egyenlet megoldását az adja:
→ Példa
Határozza meg az egyenlet megoldását! 5x2 - 45x = 0
Ha többet szeretne megtudni erről a módszerről, látogasson el ide: hiányos 2. fokú egyenlet nulla együtthatóval c.
Megoldási módszer teljes egyenletekhez
A néven ismert módszer Bhaskara módszer vagy Bhaskara formula rámutat arra, hogy a ax típusú 2. fokú egyenlet gyökerei2 + bx + c = 0 a következő összefüggés adja:
→ Példa
Határozza meg az egyenlet megoldását! x2 - x - 12 = 0.
Vegye figyelembe, hogy az egyenletben szereplő együtthatók: a = 1; B= - 1 és ç = – 12. Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük Bhaskara képletébe, akkor:
A delta (Δ) nevéhez fűződik megkülönböztető és vegye észre, hogy a négyzetgyök és mint tudjuk, a valós számokat figyelembe véve nem lehet kivonni a negatív szám négyzetgyökét.
A diszkrimináns értékének ismeretében néhány állítást tehetünk a 2. fokú egyenlet megoldásáról:
→ pozitív diszkrimináns (Δ> 0): két megoldás az egyenletre;
→ nullával egyenlő diszkrimináns (Δ = 0): az egyenlet megoldásait megismételjük;
→ negatív diszkrimináns (Δ <0): nem ismeri el a valódi megoldást.
Másodfokú egyenletrendszerek
Ha egyszerre két vagy több egyenletet veszünk figyelembe, akkor a egyenletrendszer. A 2 változós rendszer megoldása a rendezett párok halmaza amely egyidejűleg kielégíti az összes érintett egyenletet.
→ Példa
Tekintsük a rendszert:
Az x ’= 2, x’ ’= - 2 és y’ = 2, y ’’ = - 2 értékekkel rendezett párokat állíthatunk össze, amelyek egyidejűleg kielégítik a rendszeregyenleteket. Lásd: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Emlékezzünk vissza arra, hogy egy rendezett pár az (x, y) alakból van kiírva.
Az egyenletrendszer megoldásának megtalálásának módszerei hasonlóak a módszerhez lineáris rendszerek.
→ Példa
Tekintsük a rendszert:
Az x - y = 0 egyenletből izoláljuk az ismeretlent x, így:
x - y = 0
x = y
Most az izolált értéket a következő egyenletre kell cserélnünk:
x2 - x –12 = 0
y2 - y –12 = 0
Bhaskara módszerével:
Mivel x = y, x ’= y’ és x ’’ = y ’’ lesz. Azaz:
x ’= 4
x ’’ = -3
Így az elrendezett párok a (4, 4) és (- 3, - 3) rendszer megoldásai.
Olvass tovább: 1. és 2. fokú egyenletek rendszere
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - (ESPM -SP) Az alábbi egyenlet megoldása két szám
a) unokatestvérek.
b) pozitív.
c) negatív.
d) párok.
e) páratlan.
Megoldás
Tudjuk, hogy a törtrész nevezői nem lehetnek egyenlőek nullával, tehát x ≠ 1 és x ≠ 3. És mivel a törtek egyenlőek, kereszteződhetünk, megszerezve:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
x2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
x2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Az egyenlet mindkét oldalát elosztva 2-vel:
x2 - 4x - 5 = 0
Bhaskara képletéből az következik, hogy:
Vegye figyelembe, hogy az egyenlet gyökei páratlan számok.
Alternatív e.
2. kérdés - (UFPI) Egy baromfitenyésztő megállapította, hogy miután (n +2) madarat elhelyezett az összes rendelkezésre álló madárházban, csak egy madár maradt meg. A madarak összes száma, n természetes érték esetén, mindig
a) páros szám.
b) páratlan szám.
c) tökéletes négyzet.
d) 3-mal osztható szám.
e) prímszám.
Megoldás
A madarak száma megtalálható úgy, hogy megszorozzuk a madárházak számát az egyes madarak számával. közülük a gyakorlat kijelentésével a folyamat elvégzése után még egy madár van hátra, mindezt a következőkben írhatjuk mód:
n · (n + 2) +1
A disztribúció elvégzésével megkapjuk:
nem2 + 2n +1
És ennek a polinomnak a faktora alapján az következik, hogy:
(n + 1)2
Így a madarak teljes száma mindig tökéletes négyzet bármely természetes n számhoz.
C alternatíva
írta Robson Luiz
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
