Trigonometria görög eredetű szó, amely három szög mértékére utal. A matematika ezen területén végzett tanulmányok a következőkre összpontosítanak háromszögek, amelyek sokoldalúak, amelyeknek három oldala és következésképpen három szöge van. Eleinte a trigonometria a derékszögű háromszögek néhány tulajdonságának és összefüggésének tanulmányozásával foglalkozik, hogy később a háromszögek oldalainak mérését összekapcsolják a szögek mérésével.
Ezek a tulajdonságok és kapcsolatok bármilyen háromszögre kibővülnek, az úgynevezett tételeken keresztül bűnök törvénye és koszinustörvény. Később ezen eredmények egy részét olyan háromszögekben figyelhetjük meg, amelyek oldalai a kör trigonometrikus körének nevezett szegmensei.
A trigonometria nagy újdonságot javasol. Előtte csak olyan számításokat és tulajdonságokat lehetett figyelembe venni, amelyek kizárólag egy háromszög oldalait vagy kizárólag szögeit vagy ezen elemek közötti alapvető összefüggéseket vették figyelembe. Megérkezése után lehetséges egy háromszög oldalainak mérését közvetlenül összekapcsolni az egyik szögének mérésével. Figyelemre méltó, hogy a háromszögen belüli nevezetes oldalak és szegmensek közötti kapcsolatok is a
trigonometria.Mielőtt elmélyedne a trigonometria, Fontos tudni, hogy melyek a legfontosabb elemek egy derékszögű háromszögben. Ezeket az elemeket az alábbiakban határozzuk meg:
Egy derékszögű háromszög elemei
Minden derékszögű háromszöget fel lehet osztani két másik derékszögű háromszögre, az alábbi ábra szerint, követve a „h” magasságot az „a” alaphoz képest.
A derékszögű háromszög magassága két 90 ° -os szöget képez az alapjával
Figyelembe véve az ABD háromszöget, a B téglalapot, a következő elemeket lehet megfigyelni:
1 - Az AB és BD oldalakat oldalaknak nevezzük, és méréseik c, illetve b;
2 - Az AD oldalt hipotenusznak hívják, és annak mérése a. Ez az oldal mindig szemben lesz a 90 ° -os szöggel;
3 - BE az ABD háromszög magassága az AD bázishoz képest, és mérése h. (emlékeztetve arra, hogy a magasság mindig 90 ° -os szöget képez az alaphoz képest);
4 - Az AE az AB láb ortogonális vetülete a hipotenusz felett. Mértéke m;
Az 5 - ED a BD láb ortogonális vetülete a hipotenusz felett. Mérése n.
Ezután bemutatunk és megvitatunk néhány trigonometriai tulajdonságot, a derékszögű háromszög fentebb látható elemei alapján.
Metrikus kapcsolatok a derékszögű háromszögben
Ezek egyenlőségek, amelyek összefüggenek a derékszögű háromszög oldalaival, magasságával és merőleges vetületeivel:
1) c2 = átlag
2) b · c = a · h
3) h2 = m · n
4) b2 = nem
5) a2 = b2 + c2 (Pitagorasz tétel)
Trigonometrikus arányok vagy arányok a derékszögű háromszögben
Ezek az egyenlőségek a derékszögű háromszög oldalai és az egyik hegyesszöge közötti viszonyokat viszonyítják. Ehhez meg kell erősíteni a két szög egyikét, és a derékszögű háromszögben be kell tartani az ellentétes és a szomszédos oldal meghatározásait:
Téglalap háromszög, kiemelve az α szöget
BD a ellentétes láb az α szögbe;
AB az szomszédos láb az α szögbe.
Ezek az előfeltételek a trigonometrikus arányok. Vannak:
→ α szinusa
sin α = Cathetus az α-val szemben
Átfogó
→ α koszinusa
cos α = Catheto az α-val szomszédos
Átfogó
→ α tangense
tg α = Cathetus az α-val szemben
Catheto az α-val szomszédos
Ezek az okok bármelyikre érvényesek derékszögű háromszög amelynek éles szöge egyenlő az α-val. Ezeknek az osztásoknak az eredménye mindig ugyanaz, függetlenül a háromszög oldalának hosszától, mint két háromszög, amelyeknek két egyenlő szöge van, a háromszögszerűség szög-szög, arányos oldalak vannak. Ebből következik, hogy az oldalak aránya egyenlő.
trigonometrikus kör
Trigonometrikus ciklusnak vagy trigonometrikus körnek is hívják (helyesebb, de kevésbé elterjedt nevek), ez egy 1 sugarú orientált kör. Ezen a kerületen a derékszögű háromszög, amelynek α szöge egybeesik az origóval, így ennek a háromszögnek a magassága az abszcissza tengelyétől a kör széléig megy.
Ez a magasság egybeesik a szinusz, mert az α szöggel ellentétes oldala van. A magasságnak az abszcissza tengelyével való kezdőpontjától az origóig terjedő mérték egybeesik az α szöggel szomszédos oldallal, vagyis a koszinusz.
Ezek az egybeesések azért fordulnak elő, mert a hipotenusz mindig 1, mivel ez a kör sugara. Vegye figyelembe ezeket a tulajdonságokat az alábbi képen:
1. sugarú kör, amelyre egy derékszögű háromszög van elhelyezve, hogy értékelje annak tulajdonságait
Bármi legyen is a derékszögű háromszög erre a körre, az az oldal, amely egybeesik egy részével az abszcissza tengelye pontosan az α koszinusz-értékét méri, a másik oldal pedig pontosan a szinuszát α.
Trigonometrikus függvények
A trigonometrikus kör használatával meg lehet határozni trigonometrikus függvények amelyek a valós számok halmazának minden elemét összekapcsolják a valós számok halmazának egyetlen elemével is. Ezeket a számokat azonban radiánban fejezzük ki, ami mértékegység a használt π függvényében, mivel 360 ° után a trigonometrikus kör, a fokok és következésképpen egy függvény tartományának és ellentartományának elemeinek számlálása nulláról indítható újra.
alapvető kapcsolatok
A trigonometria alapvető kapcsolatai a következők:
1) Alapvető kapcsolat 1
Sen2α + cos2α = 1
2) érintője α
tg α = sin α
cos α
3) Kotangense α, amely az α érintőjének inverze
cotg α = cos α
sin α
4) Secant of α, amely az α koszinuszának inverze
sec α = 1
cos α
5) α cossecantja, amely az α szinuszának fordítottja
cossec α = 1
sin α
6) Kapcsolat felmerülése 1
tg2α + 1 = mp2α
7) 2. kapcsolat
cotg2α + 1 = cossec2α
8) Ismétlődő kapcsolat 3
cotg α = 1
tg α
Luiz Paulo Moreira
Matematikából végzett
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm