A tanulmány arról numerikus halmazok a matematika egyik fő területét képezi, mivel nagyon fontosak a terület elméleti fejlődése szempontjából, és számos gyakorlati alkalmazásuk van. A numerikus készletek a következőket tartalmazzák:
- természetes számok;
- egész számok;
- racionális számok;
- irracionális számok;
- valós számok; és
- komplex számok.
Olvass tovább: Prímszámok - olyan számok, amelyeknek csak 1 van, és ők maguk osztók
Természetes számok halmaza
Az első civilizációk fejlődése a mezőgazdaság és a kereskedelem javulását, és ennek következtében a számok felhasználásával a mennyiségeket. Az első készlet természetesen jött, innen ered a neve. A természetes elnevezésű halmaz a mennyiségek ábrázolására szolgál, és a szimbólum ℕ és sorrendben van megírva. Néz:
O számok halmaza naturavan é végtelen és zárt a kiegészítés és szorzás, vagyis amikor két természetes számot összeadunk vagy megszorzunk, a válasz továbbra is természetes. Kivonási művelethez és osztály, a készlet nincs lezárva. Néz:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Vegye figyelembe, hogy a számok –1 és 0,5 nem tartoznak a naturálok halmazába, és ez indokolja az új számkészletek létrehozását és tanulmányozását.
Ha csillagot (*) helyezünk a természetes halmaz szimbólumába, akkor el kell távolítanunk a nulla számot a listából, lásd:
egész számok beállítása
Az egész beállított szám előállt a művelet végrehajtásának szükségessége kivonás korlátozások nélkül. Mint láttuk, ha egy kisebb számot kivonunk egy nagyobbból, a válasz nem tartozik a naturálisok csoportjába.
Az egészek halmazát végtelen numerikus szekvencia is ábrázolja, és a szimbólum ℤ.
A természetes számok halmazához hasonlóan, ha csillagot helyezünk a the szimbólumba, a nulla elem eltávolításra kerül a halmazból, így:
A számot kísérő (-) szimbólum szimmetrikus, tehát a 4-es szám szimmetrikus értéke a –4. Vegye figyelembe azt is, hogy a természetes számok halmaza az egész számok halmazában található, vagyis a természetes számok halmaza az egész számok halmazának részhalmaza.
ℕ ⸦ ℤ
Olvassa el: Műveletek egész számokkal - mik ezek és hogyan kell kiszámítani?
racionális számok halmaza
O racionális számok halmaza é ℚ szimbólum képviseli, és nem numerikus szekvencia. Ez a készlet az összes számból áll, amelyek töredékként ábrázolhatók. Elemeit a következőképpen ábrázoljuk:
Tudjuk, hogy minden egész számot képviselhet a töredék, vagyis az egész számok halmazát a racionális számok tartalmazzák, tehát az egészek halmaza az ésszerűségek részhalmaza.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
A végtelen ábrázolású számok, mint pl időszakos tized, szintén reprezentációval rendelkeznek frakció formájában, tehát racionálisak is.
Olvassa el: Törtekkel végzett műveletek - lépésről lépésre, hogyan lehet megoldani őket
Iracionális számok halmaza
Mint láttuk, egy szám racionális, ha töredékként írható. Azt is elmondták, hogy a végtelen és a periodikus számok racionálisak, azonban vannak olyan számok, amelyek nem lehet töredék formájában megírni és amelyek ezért nem tartoznak a racionális számok halmazába.
Ezeket a nem racionális számokat hívjuk irracionális és fő jellemzői a a tizedes rész és a nem frekvencia végtelensége, vagyis a tizedes részben egyetlen szám sem ismétlődik meg. Lásd néhány példát irracionális számok.
- 1. példa
A nem tökéletes négyzetek számának négyzetgyöke.
- 2. példa
Konstansok olyan különleges okokból származnak, mint az aranyszám, az Euler-szám vagy a Pi.
Valódi számok halmaza
O valós számok halmaza a represented szimbólum képviseli, és a egységa racionális számok halmazának az irracionális számok halmazával. Ne feledje, hogy a racionális halmaz a természetes és az egész halmazok egyesítése.
Amikor elrendezzük a valós számokat egy vonalon, akkor megvan, hogy a nulla szám a sor eredete, a nulla jobb oldalán a pozitív, a bal oldalon pedig a negatív szám lesz.
Mivel ez a tengely valós, elmondhatjuk, hogy két szám között végtelen szám van, és azt is, hogy ez a tengely végtelen mind a pozitív irány amikor bent van negatív irány.
Összetett számok halmaza
O komplex számkészlet ez a utolsó és ugyanazon okból merült fel, mint az egész számok halmaza, vagyis olyan művelet, amelynek fejlesztése csak a valósok halmazával nem lehetséges.
A következő egyenlet megoldásával nézze meg, hogy nincs megoldása, csak a valós számokat ismeri.
x2 + 1 = 0
x2 = –1
Ne feledje, hogy meg kell találnunk egy számot, amely mikor felemeldO négyzetben, negatív számot eredményez. Tudjuk tetszőleges négyzetben lévő szám mindig pozitívezért ennek a számításnak nincs valós megoldása.
Így jöttek létre azok a komplex számok, amelyekben a képzeletbeli szám jelöli én, amelynek értéke a következő:
Tehát, vegye észre, hogy a egyenlet hogy korábban nem volt megoldás, most megvan. Nézze meg:
Olvass tovább: Komplex számokat tartalmazó tulajdonságok
tényleges intervallumok
Bizonyos esetekben nem minden valós tengelyt használunk, vagyis annak egyes részeit fogjuk használni szünetek. Ezek az intervallumok a valós számok halmazának részhalmazai. Ezután létrehozunk néhány jelölést ezekre az alhalmazokra.
Zárt tartomány - a szélsőségek nélkül
Egy intervallum zárva van, amikor két szélsősége van, vagyis a minimum és a maximum, és ebben az esetben a végletek nem tartoznak a tartományba. Ezt nyílt labda segítségével jelöljük. Néz:
Pirosak azok a számok, amelyek ebbe a tartományba tartoznak, vagyis számok nagyobb, mint a, és kisebb, mint b. Algebrailag egy ilyen intervallumot a következőképpen írunk:
a < x
Ahol az x szám az összes valós szám, amely ebben a tartományban van. Szimbolikusan is képviselhetjük. Néz:
]A; B [ vagy (A; B)
Zárt tartomány - beleértve a szélsőségeket
Most ezt használjuk zárt golyókkal a szélsőségek a tartományba tartoznak.
Tehát valós számokat gyűjtünk, amelyek a és b között vannak, beleértve azokat is. Algebrailag egy ilyen intervallumot fejezünk ki:
a ≤ xb
A szimbolikus jelöléseket használva:
[A; B]
Zárt tartomány - beleértve az egyik szélsőséget
Még mindig a zárt intervallumokkal foglalkozunk, most megvan az eset, amikor csak az egyik szélsőség szerepel. Ezért az egyik golyó bezárul, jelezve, hogy a szám a tartományba tartozik, a másik pedig nem, jelezve, hogy a szám nem tartozik ebbe a tartományba.
Algebrailag a következőképpen ábrázoljuk ezt a tartományt:
a ≤ x
Jelképesen:
[A; B [ vagy [A; B)
Nyitott tartomány - nincs vége
A tartomány akkor nyílik meg, amikor nincs maximális vagy minimális eleme. Most egy nyitott tartományú esetet fogunk látni, amelynek csak maximális eleme van, ami nem szerepel a tartományban.
Lásd, hogy a tartomány áll valós számok kevesebb, mintB, és azt is vegye figyelembe a tartományba nem tartozó b szám (nyitott labda), tehát algebrai szempontból az intervallumot a következőképpen tudjuk ábrázolni:
x
Jelképesen képviselhetjük:
] – ∞; B [ vagy (– ∞; B)
Nyílt tartomány - beleértve a szélsőséget is
A nyílt tartomány másik példája az az eset, amikor a szélsőség szerepel. Itt van egy tartomány, amelyben a minimális elem megjelenik, lásd:
Ne feledje, hogy az összes valós szám nagyobb vagy egyenlő az a számmal, ezért ezt a tartományt algebrai módon írhatjuk fel:
xnak nek
Jelképesen:
[A; +∞[ vagy [A; +∞)
nyitott tartomány
A nyílt tartomány egy másik esetét alkotja a valós vonalon rögzített számoknál nagyobb és kisebb számok. Néz:
Vegye figyelembe, hogy az ebbe a tartományba tartozó valós számok kisebbek vagy egyenlőek az a számokkal, vagy amelyek nagyobbak a b számnál, ezért meg kell tennünk:
x nak nek vagyx > b
Jelképesen:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
vagy
(– ∞; a] U (b; + ∞)
írta Robson Luiz
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm
