Mik azok a komplex számok?

A 16. század közepéig olyan egyenletek, mint az x² - 6x + 10 = 0 egyszerűen „nincs megoldás”. Ennek oka az volt, hogy Bhaskara képlete szerint ennek az egyenletnek a megoldása során a következő eredményt találták:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

A problémát a √– 4-ben találták meg, amelynek nincs megoldása a valós számok halmazán belül, vagyis nem van egy valós szám, amely önmagával megszorozva √– 4-et eredményez, mivel 2 · 2 = 4 és (–2) (- 2) = 4.

1572-ben Rafael Bombelli az x egyenlet megoldásával volt elfoglalva³ - 15x - 4 = 0 Cardano képletével. Ezzel a képlettel arra a következtetésre jutunk, hogy ennek az egyenletnek nincsenek valódi gyökerei, mivel végül szükséges lesz a √– 121 kiszámítása. Néhány kísérlet után azonban megállapítható, hogy 4³ - 15 · 4 - 4 = 0, ezért x = 4 ennek az egyenletnek a gyökere.

Figyelembe véve a valódi gyökerek létezését, amelyeket Cardano képlete nem fejez ki, Bombellinek az volt az ötlete, hogy feltételezze hogy √– 121 eredményeként √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 lesz, és ez „irreális” gyök lehet az egyenlet számára tanult. Így a √– 121 egy új típusú szám része lenne, amely az egyenlet többi megalapozatlan gyökerét alkotja. Tehát az x egyenlet

³ - 15x - 4 = 0, amelynek három gyöke van, x = 4 lenne a valódi gyökér és két másik gyökér, amely ehhez az új típusú számhoz tartozik.

A 18. század végén Gauss ezeket a számokat úgy nevezte meg komplex számok. Abban az időben a komplex számok már formát öltöttek a + bi, val vel i = √– 1. Továbbá, A és B már egy derékszögű sík pontjainak számítottak, amelyet Argand-Gauss síknak neveznek. Így a Z = a + bi komplex szám geometriai ábrázolásának a derékszögű sík P (a, b) pontja volt.

Ezért a "komplex számok”A numerikus halmazra hivatkozva kezdték használni, amelynek képviselői: Z = a + bi, i = √– 1 -vel és -vel A és B a valós számok halmazába tartozó. Ezt az ábrázolást nevezzük a Z komplex szám algebrai alakja.

Mivel a komplex számokat két valós szám alkotja, és az egyiket megszorozzuk √– 1, ezek a valós számok külön nevet kaptak. Figyelembe véve a Z = a + bi komplex számot, az a "Z valós része" és b "Z képzeletbeli része". Matematikailag írhatunk: Re (Z) = a és Im (Z) = b.

A komplex szám modulusának gondolata a valós szám modulusának ideájához hasonlóan kristályosodik. Figyelembe véve a P (a, b) pontot a Z = a + bi komplex szám geometriai ábrázolásaként, a P pont és a (0,0) pont közötti távolságot a következő adja meg:

| Z | = √(A² + b²)

A komplex számok második ábrázolási módja a Poláris vagy trigonometrikus forma. Ez a forma egy összetett szám modulusát használja felépítésében. A Z komplex szám, algebrailag Z = a + bi, a poláris alakkal ábrázolható:

Z = | Z | · (cosθ + icosθ)

Érdekes megjegyezni, hogy a derékszögű síkot két merőleges egyenes határozza meg, amelyeket x és y tengelynek nevezünk. Tudjuk, hogy a valós számokat egy olyan vonal képviselheti, amelyre az összes racionális szám felkerül. A fennmaradó szóközöket irracionális számok töltik ki. Míg a valós számok mind a (z) néven ismert vonalon vannak X tengely a derékszögű síkból az adott síkhoz tartozó összes többi pont különbség lenne a komplex számok és a valós számok között. Így a valós számok halmazát a komplex számok halmaza tartalmazza.

Luiz Paulo Moreira
Matematikából végzett

Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm