A komplex számok tanulmányozása során a következő egyenlőségre bukkanunk: i2 = – 1.
Ennek az egyenlőségnek az igazolása általában negatív négyzetgyökű 2. fokú egyenletek megoldásával jár, ami hiba. A kifejezés eredete i2 = - 1 jelenik meg a komplex számok meghatározásában, egy másik kérdés, amely szintén sok kétséget ébreszt. Értsük meg az ilyen egyenlőség okát és annak létrejöttét.
Először tegyünk néhány meghatározást.
1. A rendezett valós számok párját (x, y) komplex számnak nevezzük.
2. Összetett számok (x1y1) és (x2y2) akkor és csak akkor egyenlő, ha x1 = x2 és y1 = y2.
3. A komplex számok összeadását és szorzását a következők határozzák meg:
(x1y1) + (x2y2) = (x1 + x2y1 + y2)
(x1y1)*(x2y2) = (x1*x2 - y1* y2, x1* y2 + y1*x2)
1. példa Tekintsük z1 = (3, 4) és z2 = (2, 5), számítsa ki az z értéket1 + z2 és z1* z2.
Megoldás:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
A harmadik definíció segítségével könnyen kimutatható, hogy:
(x1, 0) + (x
(x1, 0) * (x2, 0) = (x1*x2, 0)
Ezek az egyenlőségek azt mutatják, hogy az összeadási és szorzási műveletek tekintetében a komplex számok (x, y) valós számokként viselkednek. Ebben az összefüggésben a következő összefüggést állapíthatjuk meg: (x, 0) = x.
Ennek a kapcsolatnak és az i szimbólumnak a használatával a komplex számot (0, 1) bármilyen komplex számot (x, y) írhatunk az alábbiak szerint:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → amely egy komplex szám normál alakhívása.
Így a (3, 4) komplex szám normál formában 3 + 4i lesz.
2. példa Írja fel a következő komplex számokat normál formában!
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Most vegye észre, hogy i-nek hívjuk a (0, 1) komplex számot. Lássuk, mi történik az i2 készítésekor.
Tudjuk, hogy i = (0, 1) és hogy i2 = i * i. Kövesse ezt:
én2 = i * i = (0, 1) * (0, 1)
A 3. definíció segítségével:
én2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Mint korábban láttuk, az (x, 0) forma minden komplex száma = x. Így,
én2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Elérkeztünk a híres egyenlőséghez i2 = – 1.
Írta: Marcelo Rigonatto
Statisztikai és matematikai modellezési szakember
Brazil iskolai csapat
Komplex számok - Math - Brazil iskola
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm
