A számtani progresszió (AP) van numerikus szekvencia hogy bizonyos jelenségek viselkedését leírjuk a matematikában. Egy PA-ban a a növekedés vagy bomlás mindig állandó, vagyis egyik kifejezésről a másikra a különbség mindig ugyanaz lesz, és ez a különbség okként ismert.
Ennek eredményeként a progresszió kiszámítható viselkedése, leírhatod egy képlet néven Általános kifejezés. Ugyanezen okból az is lehetséges, hogy egy PA képlete alapján kiszámítsuk a PA feltételeinek összegét.
Olvassa el: Geometriai progresszió - hogyan kell kiszámolni?
Mi az a PA?
Annak megértése, hogy a PA olyan kifejezések sorozata, amelyekben a a kifejezés és az előző közötti különbség mindig állandó, ennek a progressziónak a képletből történő leírására meg kell találnunk a kezdeti kifejezést, ill vagyis a progresszió első terminusa és oka, amely ez az állandó különbség a feltételeket.
Általánosságban elmondható, hogy a pénzügyi terv a következőképpen íródik:
(A1, a2,A3, a4,A5, a6,A7, a8)
Az első kifejezés az a1 és ettől kezdve a hozzá az OK r, keressük meg az utód feltételeket.
A1 + r = a2
A2 + r = a3
A3 + r = a4
...
Tehát a számtani progresszió megírásához tudnunk kell, hogy ki és miért az első kifejezés.
Példa:
Írjuk meg az AP első hat tagját, tudván, hogy első tagja 4, aránya pedig 2. ismerve a1 = 4 és r = 2, arra a következtetésre jutunk, hogy ez a progresszió 4-től kezdődik és 2-ről 2-re növekszik. Ezért leírhatjuk annak feltételeit.
A1 = 4
A2 = 4+ 2 = 6
A3 = 6 + 2 = 8
A4 = 8 + 2 = 10
A5= 10 + 2 = 12
A6 = 12 + 2 =14
Ez a BP egyenlő (4,6,8,10,12,14…).
A kifizetési nyilatkozat általános időtartama
A PA leírása képlet alapján megkönnyíti számunkra bármely kifejezés megtalálását. Az AP bármely kifejezésének megtalálásához a következő képletet használjuk:
Anem= a1 + r · (n-1) |
N → a kifejezés helyzete;
A1→ az első kifejezés;
r → ok.
Példa:
Megtalál a KM általános elnevezése (1,5,9,13,…) és az 5., 10. és 23. ciklus.
1. lépés: megtalálja az okát.
Az arány megtalálásához egyszerűen számolja ki a két egymást követő kifejezés közötti különbséget: 5 - 1 = 4; akkor ebben az esetben r = 4.
2. lépés: megtalálja az általános kifejezést.
Honnan tudjuk, hogy a1= 1 és r = 4, helyettesítsük a képletben.
Anem= a1 + r (n - 1)
Anem= 1 + 4 (n - 1)
Anem= 1 + 4n - 4
Anem= 4n - 3 → PA általános elnevezése
3. lépés: az általános kifejezés ismeretében számítsuk ki az 5., 10. és 23. tagot.
5. ciklus → n = 5
Anem= 4n - 3
A5=4·5 – 3
A5=20 – 3
A5=17
10. ciklus → n = 10
Anem= 4n - 3
A10=4·10 – 3
A10=40 – 3
A10=37
23. kifejezés → n = 23
Anem= 4n - 3
A23=4·23 – 3
A23=92 – 3
A23=89
A számtani haladás típusai
Három lehetőség van a PA-ra. Lehet növekvő, csökkenő vagy állandó.
Növekvő
Ahogy a neve is mutatja, a számtani progresszió növekszik, ha a kifejezések növekedésével az értékük is növekszik.vagyis a második kifejezés nagyobb, mint az első, a harmadik nagyobb, mint a második, és így tovább.
A1
Ehhez az aránynak pozitívnak kell lennie, vagyis a PA növekszik, ha r> 0.
Példák:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
ereszkedő
Ahogy a neve is mutatja, egy számtani progresszió csökken, ha a kifejezések növekedésével értékük csökken, vagyis a második kifejezés kevesebb, mint az első, a harmadik kevesebb, mint a második, és így tovább.
A1 > a2 > a3 > a4 > …. > anem
Ehhez az aránynak negatívnak kell lennie, vagyis a PA növekszik, ha r <0.
Példák:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Állandó
A számtani progresszió állandó, ha a kifejezések növekedésével az érték ugyanaz marad., vagyis az első kifejezés egyenlő a másodikkal, amely megegyezik a harmadikkal stb.
A1 = a2 = a3 = a4 = …. = anem
Ahhoz, hogy a PA állandó legyen, az aránynak nullával egyenlőnek kell lennie, azaz r = 0.
Példák:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Lásd még: A PG feltételeinek szorzata - mi a képlet?
A PA tulajdonságai
1. ingatlan
Figyelembe véve a PA bármely futamidejét, a átlagos számtan utódja és elődje között megegyezik azzal a kifejezéssel.
Példa:
Vegye figyelembe a progressziót (-1, 2, 5, 8, 11) és a 8 kifejezést. A 11 és 5 közötti átlag egyenlő 8-val, vagyis a PA elődjével rendelkező utód összege mindig megegyezik ezzel a számmal.
2. ingatlan
Az egyenlő távolságra eső kifejezések összege mindig egyenlő.
Példa:
A PF feltételeinek összege
Tegyük fel, hogy hozzá akarjuk adni a fent bemutatott hat BP kifejezést: (16,13,10,7,4,1). Egyszerűen felvehetjük a feltételeiket - ebben az esetben kevés kifejezés van, ez lehetséges -, de ha van hosszabb karakterlánc, akkor használja a tulajdonságot. Tudjuk, hogy az azonos távolságú kifejezések összege mindig egyenlő, amint azt a tulajdonságban láttuk, tehát ha ezt végrehajtjuk adjunk hozzá egyszer, és szorozzuk meg a kifejezések összegének felével, megvan az első hat tag összege PÁN.
Ne feledje, hogy a példában az első és az utolsó összegét számoljuk, amely egyenlő 17-gyel, szorozva a kifejezések felének a felével, vagyis 17-szer 3-mal, ami egyenlő 51-vel.
A képlet a PF feltételeinek összege Gauss matematikus dolgozta ki, aki ezt a szimmetriát számtani progressziókban valósította meg. A képletet a következőképpen írjuk meg:
snem → n elem összege
A1 → első ciklus
Anem → utolsó kifejezés
n → kifejezések száma
Példa:
Számítsa ki az 1 és 2000 közötti páratlan számok összegét.
Felbontás:
Tudjuk, hogy ez a szekvencia egy PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Az összeg végrehajtása sok munkát jelentene, ezért a képlet meglehetősen kényelmes. 1 és 2000 között a számok fele páratlan, tehát 1000 páratlan szám van.
Adat:
n → 1000
A1 → 1
Anem → 1999
Hozzáférhet továbbá: Véges PG összege - hogyan kell csinálni?
Számtani középértékek interpolációja
A számtani progresszió két nem egymást követő tagjának ismeretében meg lehet találni az összes olyan kifejezést, amely e két szám közé esik, amit mi számtani középértékek interpolációja.
Példa:
Interpoláljuk az 5 aritmetikai átlagot 13 és 55 között. Ez azt jelenti, hogy 5 szám van 13 és 55 között, és ezek progressziót alkotnak.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Ezen számok megtalálásához meg kell találni az okát. Ismerjük az első kifejezést (a1 = 13), valamint a 7. ciklus (a7= 55), de tudjuk, hogy:
Anem = a1 + r · (n - 1)
Amikor n = 7 → anem= 55. Ismerjük az a értékét is1=13. Tehát a képlettel helyettesítve azt kell tennünk:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Az ok ismeretében találhatunk 13 és 55 közötti kifejezéseket.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - (Enem 2012) - A kártyajáték olyan tevékenység, amely serkenti az érvelést. A hagyományos játék a Solitaire, amely 52 kártyát használ. Kezdetben hét oszlop képződik a kártyákkal. Az első oszlopban van egy kártya, a másodikban két, a harmadikban három, a negyedikben négy kártya stb egymás után a hetedik oszlophoz, amely hét kártyával rendelkezik, és mi alkotja a halmot, amelyek a fel nem használt kártyák oszlopok.
A kupacot alkotó kártyák száma:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Felbontás
B. alternatíva
Először számítsuk ki a felhasznált kártyák teljes számát. Egy olyan AP-vel dolgozunk, amelynek első ciklusa 1, és az arány szintén 1. Tehát a 7 sor összegének kiszámításakor az utolsó tag 7 és n értéke 7 is.
Tudva, hogy a felhasznált kártyák száma összesen 28 volt, és hogy 52 kártya van, a halmot a következők alkotják:
52 - 28 = 24 kártya
2. kérdés - (Enem 2018) A belterületen lévő kisváros városházája úgy dönt, hogy világító oszlopokat helyez a világítás köré egy egyenes út mentén, amely a központi térnél kezdődik és a környéken lévő tanyánál ér véget. vidéki. Mivel a téren már világítás van, az első oszlopot a tértől 80 méterre, a másodikat 100 méterre, a harmadikat 120 méterre helyezik el stb. mindig 20 méter távolságot tartva az oszlopok között, amíg az utolsó oszlopot az oszloptól 1380 méterre helyezik el. négyzet.
Ha a város legfeljebb 8 000,00 R dollárt tud fizetni elhelyezésenként, akkor a legmagasabb összeg, amelyet e posztok elhelyezésére költhet:
A) 512 000,00 BRL.
B) 520 000,00 BRL.
C) R $ 528.000,00.
D) 552 000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Felbontás
C. alternatíva
Tudjuk, hogy az oszlopokat 20 méterenként helyezzük el, vagyis r = 20, és ennek a PA-nak az első ciklusa 80. Azt is tudjuk, hogy az utolsó kifejezés 1380, de nem tudjuk, hány kifejezés van 80 és 1380 között. A kifejezések számának kiszámításához használjuk az általános kifejezés képletet.
Adatok: anem = 1380; A1=80; és r = 20.
Anem= a1 + r · (n-1)
660 hozzászólás kerül elhelyezésre. Ha mindegyik maximum 8 000 R $ -ba kerül, akkor a legmagasabb összeg, amelyet e posztok elhelyezésével el lehet költeni:
66· 8 000 = 528 000
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm