Számtani progresszió: mi ez, kifejezések, példák

A számtani progresszió (AP) van numerikus szekvencia hogy bizonyos jelenségek viselkedését leírjuk a matematikában. Egy PA-ban a a növekedés vagy bomlás mindig állandó, vagyis egyik kifejezésről a másikra a különbség mindig ugyanaz lesz, és ez a különbség okként ismert.

Ennek eredményeként a progresszió kiszámítható viselkedése, leírhatod egy képlet néven Általános kifejezés. Ugyanezen okból az is lehetséges, hogy egy PA képlete alapján kiszámítsuk a PA feltételeinek összegét.

Olvassa el: Geometriai progresszió - hogyan kell kiszámolni?

Mi az a PA?

Annak megértése, hogy a PA olyan kifejezések sorozata, amelyekben a a kifejezés és az előző közötti különbség mindig állandó, ennek a progressziónak a képletből történő leírására meg kell találnunk a kezdeti kifejezést, ill vagyis a progresszió első terminusa és oka, amely ez az állandó különbség a feltételeket.

Általánosságban elmondható, hogy a pénzügyi terv a következőképpen íródik:

(A1, a2,A3, a4,A5, a6,A7, a8)

Az első kifejezés az a1 és ettől kezdve a hozzá az OK r, keressük meg az utód feltételeket.

A1 + r = a2
A2 + r = a3
A3 + r = a4

...

Tehát a számtani progresszió megírásához tudnunk kell, hogy ki és miért az első kifejezés.

Példa:

Írjuk meg az AP első hat tagját, tudván, hogy első tagja 4, aránya pedig 2. ismerve a1 = 4 és r = 2, arra a következtetésre jutunk, hogy ez a progresszió 4-től kezdődik és 2-ről 2-re növekszik. Ezért leírhatjuk annak feltételeit.

A1 = 4

A2 = 4+ 2 = 6

A3 = 6 + 2 = 8

A4 = 8 + 2 = 10

A5= 10 + 2 = 12

A6 = 12 + 2 =14

Ez a BP egyenlő (4,6,8,10,12,14…).

A kifizetési nyilatkozat általános időtartama

A PA leírása képlet alapján megkönnyíti számunkra bármely kifejezés megtalálását. Az AP bármely kifejezésének megtalálásához a következő képletet használjuk:

Anem= a1 + r · (n-1)


N → a kifejezés helyzete;

A1→ az első kifejezés;

r → ok.

Példa:

Megtalál a KM általános elnevezése (1,5,9,13,…) és az 5., 10. és 23. ciklus.

1. lépés: megtalálja az okát.

Az arány megtalálásához egyszerűen számolja ki a két egymást követő kifejezés közötti különbséget: 5 - 1 = 4; akkor ebben az esetben r = 4.

2. lépés: megtalálja az általános kifejezést.

Honnan tudjuk, hogy a1= 1 és r = 4, helyettesítsük a képletben.

Anem= a1 + r (n - 1)

Anem= 1 + 4 (n - 1)

Anem= 1 + 4n - 4

Anem= 4n - 3 → PA általános elnevezése

3. lépés: az általános kifejezés ismeretében számítsuk ki az 5., 10. és 23. tagot.

5. ciklus → n = 5
Anem= 4n - 3
A5=4·5 – 3
A5=20 – 3
A5=17

10. ciklus → n = 10
Anem= 4n - 3
A10=4·10 – 3
A10=40 – 3
A10=37

23. kifejezés → n = 23
Anem= 4n - 3
A23=4·23 – 3
A23=92 – 3
A23=89

A számtani haladás típusai

Három lehetőség van a PA-ra. Lehet növekvő, csökkenő vagy állandó.

  • Növekvő

Ahogy a neve is mutatja, a számtani progresszió növekszik, ha a kifejezések növekedésével az értékük is növekszik.vagyis a második kifejezés nagyobb, mint az első, a harmadik nagyobb, mint a második, és így tovább.

A1 2 3 4 < …. nem

Ehhez az aránynak pozitívnak kell lennie, vagyis a PA növekszik, ha r> 0.

Példák:

(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)

  • ereszkedő

Ahogy a neve is mutatja, egy számtani progresszió csökken, ha a kifejezések növekedésével értékük csökken, vagyis a második kifejezés kevesebb, mint az első, a harmadik kevesebb, mint a második, és így tovább.

A1 > a2 > a3 > a4 > …. > anem

Ehhez az aránynak negatívnak kell lennie, vagyis a PA növekszik, ha r <0.

Példák:

(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)

  • Állandó

A számtani progresszió állandó, ha a kifejezések növekedésével az érték ugyanaz marad., vagyis az első kifejezés egyenlő a másodikkal, amely megegyezik a harmadikkal stb.

A1 = a2 = a3 = a4 = …. = anem

Ahhoz, hogy a PA állandó legyen, az aránynak nullával egyenlőnek kell lennie, azaz r = 0.

Példák:

(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)

Lásd még: A PG feltételeinek szorzata - mi a képlet?

A PA tulajdonságai

  • 1. ingatlan

Figyelembe véve a PA bármely futamidejét, a átlagos számtan utódja és elődje között megegyezik azzal a kifejezéssel.

Példa:

Vegye figyelembe a progressziót (-1, 2, 5, 8, 11) és a 8 kifejezést. A 11 és 5 közötti átlag egyenlő 8-val, vagyis a PA elődjével rendelkező utód összege mindig megegyezik ezzel a számmal.

  • 2. ingatlan

Az egyenlő távolságra eső kifejezések összege mindig egyenlő.

Példa:

A PF feltételeinek összege

Tegyük fel, hogy hozzá akarjuk adni a fent bemutatott hat BP kifejezést: (16,13,10,7,4,1). Egyszerűen felvehetjük a feltételeiket - ebben az esetben kevés kifejezés van, ez lehetséges -, de ha van hosszabb karakterlánc, akkor használja a tulajdonságot. Tudjuk, hogy az azonos távolságú kifejezések összege mindig egyenlő, amint azt a tulajdonságban láttuk, tehát ha ezt végrehajtjuk adjunk hozzá egyszer, és szorozzuk meg a kifejezések összegének felével, megvan az első hat tag összege PÁN.

Ne feledje, hogy a példában az első és az utolsó összegét számoljuk, amely egyenlő 17-gyel, szorozva a kifejezések felének a felével, vagyis 17-szer 3-mal, ami egyenlő 51-vel.

A képlet a PF feltételeinek összege Gauss matematikus dolgozta ki, aki ezt a szimmetriát számtani progressziókban valósította meg. A képletet a következőképpen írjuk meg:

snem → n elem összege

A1 → első ciklus

Anem → utolsó kifejezés

n → kifejezések száma

Példa:

Számítsa ki az 1 és 2000 közötti páratlan számok összegét.

Felbontás:

Tudjuk, hogy ez a szekvencia egy PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Az összeg végrehajtása sok munkát jelentene, ezért a képlet meglehetősen kényelmes. 1 és 2000 között a számok fele páratlan, tehát 1000 páratlan szám van.

Adat:

n → 1000

A1 → 1

Anem → 1999

Hozzáférhet továbbá: Véges PG összege - hogyan kell csinálni?

Számtani középértékek interpolációja

A számtani progresszió két nem egymást követő tagjának ismeretében meg lehet találni az összes olyan kifejezést, amely e két szám közé esik, amit mi számtani középértékek interpolációja.

Példa:

Interpoláljuk az 5 aritmetikai átlagot 13 és 55 között. Ez azt jelenti, hogy 5 szám van 13 és 55 között, és ezek progressziót alkotnak.

(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).

Ezen számok megtalálásához meg kell találni az okát. Ismerjük az első kifejezést (a1 = 13), valamint a 7. ciklus (a7= 55), de tudjuk, hogy:

Anem = a1 + r · (n - 1)

Amikor n = 7 → anem= 55. Ismerjük az a értékét is1=13. Tehát a képlettel helyettesítve azt kell tennünk:

55 = 13 + r · (7 - 1)

55 = 13 + 6r

55 - 13 = 6r

42 = 6r

r = 42: 6

r = 7.

Az ok ismeretében találhatunk 13 és 55 közötti kifejezéseket.

13 + 7 = 20

21 + 7 = 27

28 + 7 = 34

35 + 7 = 41

41 + 7 = 49

(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)

Az 1 és 10 közötti szekvencia az 1 arány számtani progressziója.
Az 1 és 10 közötti szekvencia az 1 arány számtani progressziója.

megoldott gyakorlatok

1. kérdés - (Enem 2012) - A kártyajáték olyan tevékenység, amely serkenti az érvelést. A hagyományos játék a Solitaire, amely 52 kártyát használ. Kezdetben hét oszlop képződik a kártyákkal. Az első oszlopban van egy kártya, a másodikban két, a harmadikban három, a negyedikben négy kártya stb egymás után a hetedik oszlophoz, amely hét kártyával rendelkezik, és mi alkotja a halmot, amelyek a fel nem használt kártyák oszlopok.

A kupacot alkotó kártyák száma:

A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.

Felbontás

B. alternatíva

Először számítsuk ki a felhasznált kártyák teljes számát. Egy olyan AP-vel dolgozunk, amelynek első ciklusa 1, és az arány szintén 1. Tehát a 7 sor összegének kiszámításakor az utolsó tag 7 és n értéke 7 is.

Tudva, hogy a felhasznált kártyák száma összesen 28 volt, és hogy 52 kártya van, a halmot a következők alkotják:

52 - 28 = 24 kártya

2. kérdés - (Enem 2018) A belterületen lévő kisváros városházája úgy dönt, hogy világító oszlopokat helyez a világítás köré egy egyenes út mentén, amely a központi térnél kezdődik és a környéken lévő tanyánál ér véget. vidéki. Mivel a téren már világítás van, az első oszlopot a tértől 80 méterre, a másodikat 100 méterre, a harmadikat 120 méterre helyezik el stb. mindig 20 méter távolságot tartva az oszlopok között, amíg az utolsó oszlopot az oszloptól 1380 méterre helyezik el. négyzet.

Ha a város legfeljebb 8 000,00 R dollárt tud fizetni elhelyezésenként, akkor a legmagasabb összeg, amelyet e posztok elhelyezésére költhet:

A) 512 000,00 BRL.
B) 520 000,00 BRL.
C) R $ 528.000,00.
D) 552 000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.

Felbontás

C. alternatíva

Tudjuk, hogy az oszlopokat 20 méterenként helyezzük el, vagyis r = 20, és ennek a PA-nak az első ciklusa 80. Azt is tudjuk, hogy az utolsó kifejezés 1380, de nem tudjuk, hány kifejezés van 80 és 1380 között. A kifejezések számának kiszámításához használjuk az általános kifejezés képletet.

Adatok: anem = 1380; A1=80; és r = 20.

Anem= a1 + r · (n-1)

660 hozzászólás kerül elhelyezésre. Ha mindegyik maximum 8 000 R $ -ba kerül, akkor a legmagasabb összeg, amelyet e posztok elhelyezésével el lehet költeni:

66· 8 000 = 528 000

Írta: Raul Rodrigues de Oliveira 

Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm

Rutherford atomjától Bohr atomjáig

Rutherford atomjától Bohr atomjáig

Az ókortól kezdve az embert érdekli az anyag felépítésével kapcsolatos kérdés megválaszolása.A tu...

read more
Elefánt (Elephantidae család)

Elefánt (Elephantidae család)

Királyság animaliaTörzs ChordataOsztály EmlősökRendelés ormányCsalád elephantidae Az elefántok a ...

read more

Jöjjön presentarsi és presentare qualcuno?

Ogni visszatér hozzád domandi: Hogyan tudok bemutatni egy kvalitust, vagy hogy olaszul előjöjjek ...

read more