Vas iracionalni brojevi dugo je izazivao veliku nevolju kod matematičara. Danas, već dobro definirani, kao iracionalan broj znamo onoga čiji decimalni prikaz uvijek je neperiodični decimalni. Glavna karakteristika iracionalnosti i ono po čemu se razlikuju od racionalnih brojeva jest to što oni ne može se predstaviti s frakcija.
Proučavanje iracionalnih brojeva produbljeno je kada su prilikom izračunavanja problema koji uključuju Pitagorin teorem pronađeni netačni korijeni. Čin traženja rješenja za ove neprecizne korijene učinio je postojanje netočne desetine izvanrednim. periodičan, odnosno brojeva čiji je decimalni dio beskonačan i nema dobar slijed. definirano. Glavni iracionalni brojevi su neperiodični decimali, netočni korijeni i π.
Pročitajte i vi: Kvadratni korijen - slučaj korijenja gdje je radikalni indeks 2
Skup iracionalnih brojeva
Prije proučavanja iracionalnih brojeva proučavani su skupovi brojeva prirodno, cijeli brojevi i obrazloženja. Kada smo se dublje upuštali u proučavanje pravokutnog trokuta, postalo je jasno da
postoje neki korijeni koji nemaju točno rješenje, posebno je bilo moguće vidjeti da su netočna korijenska rješenja brojevi poznate kao neperiodična desetina.Usred ove uznemirenosti mnogi su matematičari bezuspješno pokušali pokazati da su netočni korijeni racionalni brojevi i koji se može predstaviti kao razlomak, ali shvatilo se da ti brojevi ne mogu biti predstavljeni u ovome oblik. Kako do sada skup racionalnih brojeva nije obuhvaćao te brojeve, javila se potreba za stvaranjem novog skupa, poznatog kao skup iracionalnih brojeva.
Broj je iracionalan kada je njegov decimalni prikaz neperiodična decimala. |
Što su iracionalni brojevi?
Da bi bio iracionalan broj, mora udovoljavati definiciji, tj njegov je decimalni prikaz neperiodična decimalna. Glavna karakteristika neperiodičnih decimala je da ih nije moguće predstaviti razlomkom, što pokazuje da su iracionalni brojevi suprotni racionalnim brojevima.
Glavni brojevi s ovom značajkom su korijeni nisu točni.
Primjeri:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Kada se traže netačna korijenska rješenja, odnosno izvođenje decimalnog prikaza tih brojeva, uvijek naći ćemo neperiodičnu decimalu, koja ove brojeve čini elementima skupa iracionalno.
Uz ne-točne korijene, postoje i sami neperiodični decimali, na primjer, ako izračunamo ne-točne korijene, pronaći ćemo neperiodičnu decimalu.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Iracionalni brojevi obično su predstavljeni grčkim slovima, jer nije moguće napisati sve njegove decimale.
Prvi je π (čitaj: pi), prisutan u izračunu površine i opsega krugova. Ima vrijednost jednaku 3,1415926535…
Uz π, još jedan vrlo čest broj je ϕ (čitaj: fi). Pronađen je u problemima koji uključuju proporcija zlatna. Ima vrijednost jednaku 1,618033 ...
Pogledajte i: Što su prosti brojevi?
racionalni i iracionalni broj
Pri analizi skupova brojeva, važno je razlikovati racionalne brojeve od iracionalnih brojeva. Unija ova dva skupa tvori jedan od najproučenijih skupova u matematici, skup reala, odnosno skup stvarni brojevi to je spajanje brojeva koji se mogu predstaviti kao razlomci (racionalno) s brojevima koji se ne mogu predstaviti kao razlomci (iracionalno).
U setu racionalni brojevi, postoje cjelobrojni, prirodni, točni decimale i periodički decimale.
Primjeri racionalnih brojeva:
-60 → cijeli broj
2,5 → točna decimala
5.1111111… → periodična decimala
Iracionalni brojevi su neperiodične decimale, tako da ne postoji broj koji je istovremeno racionalan i iracionalan.
Primjer iracionalnih brojeva:
1,123149… → neperiodična desetina
2.769235… → neperiodična desetina
Operacije s iracionalnim brojevima
zbrajanje i oduzimanje
THE dodatak i oduzimanje od dva iracionalna broja je obično upravo zastupana, osim ako se ne koristi decimalna aproksimacija ovih brojeva, na primjer:
a) √6 + √5
b) √6 - √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
Vrijednosti ne možemo dodavati ili oduzimati zbog radikala, pa smo operaciju upravo ostavili naznačenom.
U decimalnim prikazima također nije moguće izvesti točan zbroj, pa da bismo dodali dva iracionalna broja, trebamo racionalnu aproksimaciju., a ovaj prikaz odabire se prema potrebi za preciznošću ovih podataka. Što više decimalnih mjesta uzmemo u obzir, to smo bliži točnom zbroju.
Promatranje:skup iracionalnih brojeva nije zatvoren zbrajanjem ili oduzimanjem, to znači da zbroj dva iracionalna broja može rezultirati brojem koji nije racionalan. Na primjer, ako razlikujemo iracionalni broj s njegovom suprotnošću, moramo:
a) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Znamo da 0 nije iracionalan broj.
Množenje i dijeljenje
Množenje i podjela iracionalnih brojeva može se izvršiti ako je prikaz a radikacije, međutim, poput zbrajanja, u decimalnom prikazu, odnosno množenju ili dijeljenju dviju decimala, potrebna je racionalna aproksimacija ovog broja.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Također imajte na umu da je u primjeru b 4 racionalan broj, što znači da množenje i dijeljenje dva iracionalna broja nisu zatvorena, odnosno mogu imati racionalan rezultat.
riješene vježbe
Pitanje 1 - Pregledajte sljedeće brojeve:
I) 3.1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
To su iracionalni brojevi:
A) Samo ja, IV i V
B) Samo II, III i VI
C) Samo II, IV i VI
D) Samo I, II, III i VI
E) Samo III, IV, V i VI
Razlučivost
Alternativa B
I → broj je točno decimalni, racionalan.
II → broj je neperiodična, iracionalna decimala.
III → π je iracionalan, a njegov dvostruki, odnosno 2π, također je iracionalan.
IV → broj je periodična, racionalna decimala.
V → točan, racionalan korijen.
VI → korijen nije točan, iracionalan.
Pitanje 2 - Molimo prosudite sljedeće izjave:
I - Skup stvarnih brojeva je unija racionalnog i iracionalnog;
II - Zbroj dva iracionalna broja može biti racionalan broj;
III - Desetina je iracionalan broj.
Analizirajući izjave, možemo reći da:
A) Samo je izjava I istinita.
B) Istinita je samo izjava II.
C) Istinita je samo izjava III.
D) Istinite su samo izjave I i II.
E) Sve su tvrdnje istinite.
Razlučivost
Alternativa D
I → Istina, jer je definicija skupa realnih brojeva unija između racionalnog i iracionalnog.
II → Tačno, kad dodamo broj koji mu je suprotan, rezultirat ćemo brojem 0, koji je racionalan.
III → Lažna, neperiodična desetina je iracionalna.
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm