THE opseg je ravna geometrijska figura koju čine unija jednako udaljenih točaka, odnosno imaju jednaku udaljenost od fiksne točke koja se naziva središte. Proučavanje opsega također je prisutno u analitička geometrija, u kojem je moguće izvesti jednadžbu koja je predstavlja.
iako krug i opseg su ravni geometrijski likovi s nekim zajedničkim elementima, što obično dovodi do sumnji, te figure predstavljaju važne razlike, posebno u pogledu dimenzionalnosti.
Pročitajte i vi: Udaljenost između dviju točaka - važan koncept analitičke geometrije
elementi kruga
Obratite pažnju na opseg:
Točka Ç to se zove središte kruga, i imajte na umu da mu pripadaju točke A i B. Segment koji spaja krajeve kruga koji prolazi kroz središte naziva se promjer. Na prethodnom opsegu, onda moramo promjer je AB segment.
Prema podijelite promjer na pola, uzmimo radijus opsega, odnosno polumjer (r) kružnice to je segment koji spaja središte i kraj. U ovom je slučaju radijus CB segment. Možemo uspostaviti matematički odnos između ova dva elementa, jer je promjer dvostruko veći od polumjera.
d = 2 · r
Primjer
Odredite polumjer kruga čiji promjer iznosi 40 cm.
Znamo da je promjer dvostruko veći od polumjera, ovako:
dužina opsega
Uzmimo u obzir krug koji ima polumjer koji mjeri r. O duljina ili opseg opsega daje umnožak çkonstanta pi (π) za dvostruki radijus.
Kada izračunavamo duljinu ili opseg kruga, određujemo veličinu crte zelena na prethodnom crtežu, a da biste to učinili, samo zamijenite vrijednost radijusa u formuli koja nastavlja lik.
Primjer
Odredite duljinu opsega polumjera 5 cm.
Polumjer kruga jednak je 5 cm, pa da bismo odredili duljinu kruga, ovu vrijednost moramo zamijeniti u formuli.
C = 2πr
C = 2 (3,14) (5)
C = 6,24,5
C = 31,2 cm
Pogledajte i: Izgradnja upisanih poligona
područje opsega
Razmotrimo krug polumjera r. Da bismo izračunali vašu površinu, moramo pomnoži kvadrat vrijednosti polumjera s π.
Kada izračunavamo površinu kruga, određujemo površinsku mjeru, odnosno cijelu regiju unutar kruga.
- Primjer
Odredite površinu kruga koji ima polumjer jednak 4 cm.
Imamo da je polumjer opsega jednak 4 cm, pa tu mjeru u formuli možemo zamijeniti za površinu. Izgled:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
V = 50,24 cm2
Jednadžba smanjena opsega
Znamo da krug može napraviti skup bodova koji imaju jednaku udaljenost s fiksne točke koja se naziva ishodište ili središte. Dakle, razmotrite fiksnu točku u Kartezijanska ravnina O (a, b). Skup točaka - predstavljenih s P (x, y) - koje su na istoj udaljenosti r od ove fiksne točke činit će krug polumjera r.
Imajte na umu da su točke oblika P (x, y) na istoj udaljenosti od točke O (a, b), tj. udaljenost između točaka O i P jednaka je polumjeru kružnice, Tako:
Na svedena jednadžba, imajte na umu da brojevi The i B su koordinate središta kruga i to r je mjera radijusa.
- Primjer
Odredite koordinate središta i mjeru radijusa kružnice koja ima jednadžbu:
a) (x - 2)2 + (y - 6)2 = 36
Uspoređujući ovu jednadžbu sa smanjenom jednadžbom, imamo:
(x - The)2 + (y - B)2 = r2
(x - 2)2 + (y -6)2 = 36
Vidi da su a = 2, b = 6 i r2 = 36. Jedina jednadžba koju treba riješiti je:
r2 = 36
r = 6
Stoga je središnja koordinata: O (2, 6), a duljina polumjera 6.
b) (x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
Slično tome, imamo:
(x - The)2 + (y - B)2 = r2
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
- b = 3
b = –3
Dok je vrijednost polumjera dana:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + god2 = 1
(x - The)2 + (y - B)2 = r2
x2 + god2 = 1
Imajte na umu da x2 = (x + 0)2 i y2 = (y + 0)2 . Dakle, moramo:
(x - The)2 + (y - B)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Stoga je koordinata središta O (0, 0), a polumjer jednak 1.
Također pristupite: Kako pronaći središte kruga?
opća jednadžba kružnice
Da bismo odredili opću jednadžbu kružnice, moramo razviti smanjenu jednadžbu nju. Dakle, uzmite u obzir krug koji ima središte na koordinatama O (a, b) i polumjeru r.
U početku ćemo razviti pojmove na kvadrat koristeći zapaženi proizvodi; tada ćemo proslijediti sve brojeve prvom članu; i na kraju, pridružit ćemo pojmove s istim doslovnim koeficijentom, odnosno onima s istim slovima. Izgled:
Primjer
Odredite koordinate središta i srednji radijus kruga koji ima jednadžbu:
a) x2 + god2 - 4x - 6y + 4 + 9 - 49 = 0
Da bismo odredili polumjer i koordinate kruga koji ima ovu jednadžbu, moramo je usporediti s općom jednadžbom. Izgled:
x2 + god2 – 2.x - 2by + The2 + B2 –r2 = 0
x2 + god2 – 4x - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
Iz usporedbi u zelenom imamo:
2. = 4
a = 2
ili
The2 = 4
a = 2
Iz usporedbi u crvenoj boji imamo sljedeće:
2b = 6
b = 3
ili
B2 = 9
b = 3
Dakle, možemo reći da središte ima koordinatu O (2, 3). Sada, uspoređujući vrijednost r, imamo:
r2 = 49
r = 7
Stoga radijus kruga ima duljinu jednaku 7.
b) x2 + god2 - 10x + 14g + 10 = 0
Na sličan način, usporedimo jednadžbe:
x2 + god2 – 2.x - 2by + The2 + b2 - r2 = 0
x2 + god2 –10x + 14y + 10 = 0
2. = 10
a = 5
Određivanje vrijednosti b:
–2b = 14
b = - 7
Sad imajte na umu da:
The2 + b2 - r2 = 10
Budući da znamo vrijednosti a i b, možemo ih zamijeniti u formuli. Izgled:
The2 + b2 - r2 = 10
52 + (–7)2 - r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 - r2 = 10
- r2 = 10 – 74
(–1) - r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Stoga su koordinate središta O (5, –7), a radijus ima duljinu jednaku 8.
Razlike između opsega i kruga
Razlika između kruga i kruga odnosi se na broj dimenzija svakog elementa. Dok krug ima jednu dimenziju, krug ima dvije.
Kružnica je područje u ravnini koju čine točke koje su jednako udaljene od fiksne točke koja se naziva ishodište. Krug čine sve regije u krugu. Pogledajte razliku u slikama:
Pogledajte i:dužina opsega i površina kruga
riješene vježbe
Pitanje 1 - Opseg ima opseg jednak 628 cm. Odredite promjer ovog kruga (usvojite π = 3,14).
Razlučivost
Budući da je opseg jednak 628 cm, tu vrijednost možemo zamijeniti izrazom duljine opsega.
pitanje 2 - Dva kruga su koncentrična ako imaju isto središte. Znajući to, odredite površinu praznog lika.
Razlučivost
Imajte na umu da da bismo bijelu površinu odredili u području bijele boje, moramo odrediti površinu većeg kruga, a zatim plavog područja manjeg kruga. Također imajte na umu da ako uklonimo plavi krug, preostalo je samo područje koje želimo, pa moramo oduzeti ta područja. Izgled:
THEVEĆE = r2
THEVEĆE = (3,14) · (9)2
THEVEĆE = (3,14) · 81
THEVEĆE = 254,34 cm2
Izračunajmo sada površinu plavog kruga:
THEMANJI = r2
THEMANJI = (3,14) · (5)2
THEMANJI = (3,14) · 25
THEMANJI = 78,5 cm2
Dakle, prazno područje dobiva se razlikom između veće površine i manje površine.
THEBIJELO = 254,34 – 78,5
THEBIJELO = 175,84 cm2
napisao Robson Luiz
Učitelj matematike
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm