THE kombinatorna analiza je polje studija matematike povezano s pravilima brojanja. Početkom 18. stoljeća, proučavanje igara koje uključuju kockice i karte dovelo je do toga da su teorije brojanja imale velik razvoj.
Djelo kombinatorike omogućuje realizaciju sve preciznijih brojanja.Temeljno načelo brojanja (PFC), faktorijel i vrste grupiranja primjeri su pojmova koji se proučavaju u kombinatornoj analizi, a koji pored pružanja veće preciznost pomaže Nerazvoj drugih područja matematike, poput The vjerojatnost i O Newtonov binom.
Pročitajte i vi: aranžman ili çkombinacija?
Čemu služi kombinatorna analiza?
Kombinatorička analiza povezana je s brojanjem, to jest, proučavanje ovog područja matematike omogućuje nam razvijanje alata koji nam pomažu u izvođenju broji učinkovitije. Pogledajmo tipični problem brojanja, pogledajte:
Primjer 1
Razmotrimo tri grada A, B i C povezana autocestama R1, R2, R3, R4 i R5. Odredite na koliko načina možemo doći od grada A do grada C preko grada B.
Imajte na umu da moramo napustiti grad A i otići do grada B, a tek onda možemo putovati do grada C, pa analizirajmo sve mogućnosti izvesti događaj prateći autoceste.
1. način: R1 → R3
2. način: R1 → R4
3. način: R1 → R5
4. način: R2 → R3
5. način: R2 → R4
6. način: R2 → R5
Dakle, imamo šest različitih načina kako doći od grada A do grada C preko grada B. Međutim, imajte na umu da je predloženi problem relativno jednostavan i da je provedena analiza bila malo naporna. Dakle, od sada ćemo proučavati sofisticiranije alate koji omogućuju rješavanje problema s mnogo manje posla.
Temeljno načelo brojanja (PFC)
Razmotrimo događaj E koji se može izvesti u n neovisnih i uzastopnih koraka. Sada uzmite u obzir da je broj mogućnosti izvođenja prvog koraka jednak P1, također zamislite da je broj mogućnosti izvođenja druge faze P2, i tako dalje, sve dok ne dođemo do posljednje faze, koja ima PNe mogućnosti za izvođenje.
Temeljni princip brojanja (PFC) navodi da ukupne mogućnosti održavanja događaja E daje:
Str1 · P.2 ·… · P.Ne
Dakle, zbroj je dan umnoškom mogućnosti svakog od koraka koji čine događaj E. Imajte na umu da je za određivanje ukupnih mogućnosti održavanja događaja E potrebno znati ukupne mogućnosti svake od etapa.
Primjer 2
Ponovimo primjer 1 koristeći temeljni princip brojanja.
Razmotrite sliku u primjeru 1.
Imajte na umu da se događaj može izvoditi u dvije faze, prva ide iz grada A u grad B, a druga iz grada B u grad C. Da bismo izveli prvi korak, imamo dvije mogućnosti (ceste R1 i R2), a za izvedbu druge faze imamo tri mogućnosti (R3, R4 i R5).
1. korak → dvije mogućnosti
2. faza → tri mogućnosti
Prema temeljnom principu brojanja, moramo pomnožiti ukupne mogućnosti svakog koraka.
2 · 3
6
Prema tome, za prelazak iz grada A u grad C preko grada B imamo ukupno šest mogućnosti.
Primjer 3
Na koliko se načina mogu podijeliti tri olimpijske medalje u konkurenciji od planinski bicikl s pet natjecatelja?
Organizacija podjele medalja događaj je koji se može provesti u tri faze. Prvi je korak analizirati ukupne mogućnosti tko će dobiti zlatnu medalju, tj. pet mogućnosti.
Drugi je korak analizirati mogućnosti tko će dobiti srebrnu medalju, tj. četiri, budući da prvo mjesto ne ulazi u ovaj izbor. Treći korak je analiza ukupnih mogućnosti tko će dobiti brončanu medalju, tj. tri, budući da su prva dva već odabrana.
1. korak → pet mogućnosti
2. faza → četiri mogućnosti
3. faza → tri mogućnosti
Prema temeljnom principu brojanja, imamo:
5 · 4 · 3
60 mogućnosti
Pogledajte i: Načelo brojanja aditiva - objedinjavanje jednog ili više skupova
Faktorijel
O faktorijel je način razgraditi prirodni broj. Da biste izračunali faktorijel broja, samo ga pomnožite sa svim prethodnicima do broja 1. Faktorijal je predstavljen uskličnikom - "!".
Pogledajte neke primjere kako izračunati faktorijel nekih brojeva.
The) 2! (čita: dva faktora)
Za izračun samo pomnožite broj koji prati faktorijel sa svim njegovim prethodnicima do broja 1, ovako:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Formalno možemo napisati faktor na sljedeći način:
Razmotrimo prirodni broj n> 2. Na faktorijel n označava se n! a daje se množenjem n sa svim njegovim pozitivnim cjelobrojnim prethodnicima.
Ne! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Imajte na umu sljedeće činjenice:
4! i 5!
Sada izvedite razvoj oba:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Imajte na umu da je u razvoju 5! pojavljuje se razvoj 4!. Tako možemo napisati 5! Tako:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Primjer 4
Izračunaj faktorijel sekzavijanje:
Pogledajte da je 15! bio je razvijen do 13!. Također imajte na umu da se u brojiocu razlomka elementi množe, tako da možemo "rezati" 13!, Što rezultira samo 15 · 14.
Promatranje:0! = 1
Vrste grupiranja
Neki su problemi s brojanjem složeniji i jednostavniji za rješavanje novim alatima. Ti se alati nazivaju grupiranjem jer elemente grupiraju na različite načine, što olakšava postupak brojanja. Ta su grupiranja: jednostavan raspored, permutacija i jednostavna kombinacija.
jednostavan aranžman
Razmotrimo skup s n različitih elemenata. nazovimo to uređenje od n elemenata preuzetih od p do p, bilo kojeg slijeda poredanog p, i različitih elemenata odabranih među elementima.
Dakle, broj podskupova formiranih od p elemenata bit će raspored n elemenata preuzetih od p do p. Formula koja nam omogućuje izračunavanje broja aranžmana daje:
Primjer 5
Izračunajte vrijednost A4,2 + A5,2.
Da bismo izračunali vrijednost izraza, odredimo svaki od polja, a zatim te vrijednosti zbrojimo. Da bismo odredili vrijednost svakog polja, moramo zamijeniti vrijednosti u formuli.
Imajte na umu da su n = 4 i p = 2, oba su zamijenjena u formuli. Sada moramo izračunati vrijednost niza od pet elemenata uzetih dva po dva.
Dakle, moramo:
THE4,2 + A5,2
12 + 20
32
Primjer 6
Koliko različitih četveroznamenkastih prirodnih brojeva može nastati pomoću brojeva 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9?
U ovom problemu možemo se poslužiti jednostavnim rasporedom, od 2435 ≠ 4235. Vidjet ćemo da ih, u nekim slučajevima, redoslijed elemenata ne razlikuje, pa stoga ne možemo koristiti raspored.
Budući da želimo odrediti ukupan broj brojeva koji se mogu formirati, primijetite da je ukupan broj elemenata jednak osam, a želimo ih grupirati četiri po četiri, pa:
jednostavna permutacija
Razmotrimo skup s n elemenata. nazovimo to jednostavna permutacija od n elemenata svaki raspored od n elemenata uzetih n do n. Dakle, moramo:
Da ne bi bilo zabune između pojmova, označimo jednostavnu permutaciju n elemenata s PNe. Dakle, moramo:
StrNe = n!
Primjer 7
Izračunaj P7 i P.3.
Da bismo izračunali ove permutacije, moramo zamijeniti vrijednosti u formuli. Izgled:
Str7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
Str7 = 5040
Str3 = 3 · 2 · 1
Str3 = 6
Primjer 8
Odredite koliko anagrama može biti u riječi Brazil.
Pod anagramom razumijemo sve moguće transpozicije slova riječi, na primjer, "Lisarb" je a anagram riječi Brazil. Da bismo odredili broj anagrama, moramo izračunati permutaciju slova u riječi, pa moramo:
Str6 = 6!
Str6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
Str6 = 720
Stoga riječ Brazil ima 720 anagrama.
Također pristupite: Permutacija s ponovljenim elementima
jednostavna kombinacija
Razmotrimo skup A s n različitih elemenata. nazovimo to kombinacija od n elemenata preuzetih p do p bilo koji podskup A koji čine p elementi. Formula za izračunavanje kombinacije dana je:
Primjer 9
Izračunajte kombinaciju 10 elemenata uzetih od četiri do četiri.
Primjer 10
Koliko četverokuta različito možemo oblikovati s vrhovima u točkama A, B, C, D, E i F?
Imajte na umu da je četverokut ABCD u ovom kontekstu isti kao četverokut CDBA, pa bismo trebali koristiti kombinaciju, a ne nizove. Imamo ukupno šest bodova i želimo ih kombinirati četiri po četiri, ovako:
Stoga možemo oblikovati 15 različitih četverokuta.
Kombinacijska analiza i vjerojatnost
Studija o vjerojatnost je usko povezana sa proučavanjem kombinatorne analize.. U nekim problemima vjerojatnosti potrebno je odrediti prostor uzorka koji se sastoji od skupa formiranog od svih mogućih ishoda određenog događaja.
U nekim slučajevima, prostor uzorka E zapisuje se vrlo izravno, kao u flip-u poštene kovanice, gdje su mogući ishodi glave ili repovi i označeni su kako slijedi:
E = {glave, repovi}
Sad zamislite sljedeću situaciju: matrica se baca tri uzastopna puta i mi smo zainteresirani za određivanje prostora uzorka za ovaj eksperiment. Imajte na umu da zapisivanje svih mogućnosti više nije jednostavan zadatak, moramo se koristiti temeljnim principom brojanja (PFC). Događaj se može izvesti u tri faze, u svakoj od njih imamo šest mogućnosti, budući da kockica ima šest lica, poput ove:
1. faza → šest mogućnosti
2. faza → šest mogućnosti
3. faza → šest mogućnosti
Prema PFC-u imamo sveukupne mogućnosti:
6 · 6 · 6
216
Tako možemo reći da je uzorak prostora ovog događaja 216.
Vidite da je za proučavanje vjerojatnosti potrebno je osnovno znanje kombinatorne analize., jer je bez određivanja prostora uzorka eksperimenta nemoguće riješiti veliku većinu vježbi vjerojatnosti. Za više detalja o ovom području matematike pročitajte tekst:Vjerojatnost.
riješene vježbe
Pitanje 1 - Odredite broj anagrama riječi dvorac. Zatim odredite broj anagrama koji počinju slovom c.
Razlučivost
Da bismo odredili broj anagrama, moramo izračunati permutaciju broja slova, ovako:
Str7 = 7!
Str7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
Str7 = 5040
Riječ ima 5040 anagrama. Sada, da bismo odredili broj anagrama koji počinju slovom c, moramo popraviti slovo i izračunati anagram ostalih, pogledajte:
Ç__ __ __ __ __ __
Kada popravimo slovo c, imajte na umu da je ostalo šest polja za izračunavanje permutacije, ovako:
Str6 = 6!
Str6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
Str6 = 720
Tako imamo 720 anagrama riječi dvorac koji počinju slovom c.
pitanje 2 - U učionici je pet muškaraca i sedam žena. Koliko se skupina od tri muškarca i četiri žene može formirati?
Razlučivost
Prvo, uvidite da redoslijed odabira ljudi nije važan, na primjer grupa koju je formirao João, Marcos i José ista je skupina koju su formirali Marcos, João i José, stoga kombinaciju moramo koristiti za proračun.
Izračunajmo odvojeno broj skupina koje mogu formirati muškarci i žene te u Onda pomnožimo ove rezultate, jer se svaka skupina muškaraca može miješati sa svakom skupinom žene.
Muškarci
Ukupno → 5
Količina u grupi → 3
Žene
Ukupno → 7
Količina u grupi → 4
Stoga je ukupan broj skupina koje mogu formirati tri muškarca i četiri žene:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
napisao Robson Luiz
Učitelj matematike
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm
