Trigonometrijske jednadžbe su jednakosti koje uključuju trigonometrijske funkcije nepoznatih luka. Rješavanje ovih jednadžbi jedinstven je postupak koji koristi tehnike svođenja na jednostavnije jednadžbe. Pokrijmo pojmove i definicije jednadžbi u obliku cosx = a.
Trigonometrijske jednadžbe u obliku cosx = α imaju rješenja u intervalu –1 ≤ x ≤ 1. Određivanje vrijednosti x koje zadovoljavaju ovu vrstu jednadžbe pokorit će se sljedećem svojstvu: Ako dva luka imaju jednake kosinuse, tada su podudarni ili se nadopunjuju..
Neka je x = α rješenje jednadžbe cos x = α. Druga moguća rješenja su lukovi koji se podudaraju s lukom α ili s lukom - α (ili s lukom 2π - α). Dakle: cos x = cos α. Obratite pažnju na prikaz u trigonometrijskom ciklusu:
Zaključili smo da:
x = α + 2kπ, s k Є Z ili x = - α + 2kπ, s k Є Z
Primjer 1
Riješi jednadžbu: cos x = √2 / 2.
Iz tablice trigonometrijskih omjera, que2 / 2 odgovara kutu od 45º. Zatim:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
Dakle, jednadžba cosx = √2 / 2 ima za rješenje sve lukove koji su podudarni s lukom π / 4 ili –π / 4 ili čak 2π - π / 4 = 7π / 4. Obratite pažnju na ilustraciju:
Zaključujemo da su moguća rješenja jednadžbe cos x = √2 / 2:
x = π / 4 + 2kπ, s k Z Z ili x = - π / 4 + 2kπ, s k Є Z
Primjer 2
Riješi jednadžbu: cos 3x = cos x
Kada su lukovi 3x i x sukladni:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Kada su lukovi 3x i x komplementarni:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ / 4
x = kπ / 2
Rješenje jednadžbe cos 3x = cos x je {x Є R / x = kπ ili x = kπ / 2, s k Є Z}.
Marka Noe
Diplomirao matematiku
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm