Faktoriranje je postupak koji se koristi u matematici i sastoji se od predstavljanja broja ili izraza kao produkta faktora.
Napisujući polinom poput množenja ostalih polinoma, često možemo pojednostaviti izraz.
U nastavku pogledajte vrste polinomnih faktora:
Zajednički čimbenik dokaza
Ovu vrstu faktorizacije koristimo kada postoji faktor koji se ponavlja u svim terminima polinoma.
Ovaj faktor koji može sadržavati brojeve i slova stavit će se ispred zagrada.
Unutar zagrada bit će rezultat dijeljenja svakog člana polinoma zajedničkim faktorom.
U praksi napravimo sljedeće korake:
1º) Utvrdite postoji li broj koji dijeli sve koeficijente polinoma i slova koja se ponavljaju u svim pojmovima.
2º) Stavite uobičajene čimbenike (broj i slova) ispred zagrada (kao dokaz).
3.) U zagrade stavite rezultat dijeljenja svakog faktora polinoma s faktorom koji je u evidenciji. U slučaju slova koristimo pravilo podjele vlasti iste baze.
Primjeri
a) Koji je faktorski oblik polinoma 12x + 6y - 9z?
Prvo, identificiramo taj broj 3 dijeli sve koeficijente i da nema slova koje se ponavlja.
Broj 3 stavljamo ispred zagrada, dijelimo sve pojmove s tri i rezultat koji ćemo staviti u zagrade:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
b) Faktor 2a2b + 3a3c - a4.
Kako ne postoji broj koji istovremeno dijeli 2, 3 i 1, nećemo staviti nijedan broj ispred zagrada.
Pismo The ponavlja se u svim terminima. Zajednički čimbenik bit će The2, što je najmanji eksponent The u izrazu.
Svaki član polinoma dijelimo sa The2:
2.2 b:2 = 2.2 - 2 b = 2b
3.3c:2 = 3.3 - 2 c = 3ac
The4: a2 = the2
Stavili smo The2 ispred zagrada i rezultati podjela u zagradama:
2.2b + 3a3c - a4 = the2 (2b + 3ac - a2)
grupiranje
U polinomu koji ne postoji faktor koji se ponavlja u svim terminima, možemo koristiti faktorizaciju grupiranjem.
Za to moramo identificirati pojmove koji se mogu grupirati po zajedničkim čimbenicima.
U ovoj vrsti faktorizacije pokazali smo zajedničke čimbenike klastera.
Primjer
Faktor polinoma mx + 3nx + my + 3ny
Uvjeti mx i 3nx ima kao zajednički čimbenik x. već uvjeti moj i 3ny imaju kao zajednički čimbenik g.
Dokazivanje ovih čimbenika:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Imajte na umu da se (m + 3n) sada također ponavlja u oba termina.
Ponovno stavljajući ga u dokaze, nalazimo faktorizirani oblik polinoma:
mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Savršeni kvadratni trinom
Trinomi su polinomi s 3 člana.
Savršeni kvadratni trinomi a2 + 2ab + b2 i2 - 2ab + b2 rezultat izvanrednog proizvoda ove vrste (a + b)2 i (a - b)2.
Dakle, faktorizacija savršenog kvadratnog trinoma bit će:
The2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (kvadrat zbroja dvaju članaka)
The2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (kvadrat razlike dva člana)
Da bismo saznali je li trinom zaista savršen kvadrat, radimo sljedeće:
1º) Izračunajte kvadratni korijen članaka koji se pojavljuju na kvadrat.
2) Pomnožite pronađene vrijednosti sa 2.
3.) Usporedite pronađenu vrijednost s pojmom koji nema kvadrata. Ako su jednaki, to je savršen kvadrat.
Primjeri
a) Faktor polinoma x2 + 6x + 9
Prvo moramo testirati je li polinom savršeni kvadrat.
√x2 = x i √9 = 3
Pomnoživši s 2, nalazimo: 2. 3. x = 6x
Budući da je pronađena vrijednost jednaka članu koji nije na kvadrat, polinom je savršeno na kvadrat.
Dakle, faktorizacija će biti:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) Na faktor polinoma x2 - 8xy + 9 g2
Testiranje je li to savršeni kvadratni trinom:
√x2 = x i √9y2 = 3 g
Množenje: 2. x. 3y = 6xy
Pronađena vrijednost ne odgovara pojmu polinoma (8xy ≠ 6xy).
Budući da nije savršeni kvadratni trinom, ne možemo se koristiti ovom vrstom faktorizacije.
Razlika dva kvadrata
Faktorizirati polinome tipa a2 - B2 koristimo izvanredan umnožak zbroja i razlike.
Dakle, faktorizacija polinoma ovog tipa bit će:
The2 - B2 = (a + b). (a - b)
Da bismo faktorirali, moramo izračunati kvadratni korijen dvaju članaka.
Zatim napišite umnožak zbroja pronađenih vrijednosti i razlike između tih vrijednosti.
Primjer
Faktor 9x binom2 - 25.
Prvo pronađite kvadratni korijen pojmova:
√9x2 = 3x i √25 = 5
Napiši ove vrijednosti kao umnožak zbroja i razlike:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
savršena kocka
polinomi a3 + 3.2b + 3ab2 + b3 i3 - 3.2b + 3ab2 - B3 rezultat izvanrednog proizvoda ove vrste (a + b)3 ili (a - b)3.
Dakle, faktorski oblik savršene kocke je:
The3 + 3.2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
The3 - 3.2b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
Da bismo faktorizirali takve polinome, moramo izračunati kubični korijen članaka u kocki.
Poslije je potrebno potvrditi da je polinom savršena kocka.
Ako je tako, kockamo zbroj ili oduzimanje vrijednosti pronađenih kubičnih korijena.
Primjeri
a) Faktor polinoma x3 + 6x2 + 12x + 8
Prvo izračunajmo kubični korijen izraza kocka:
3√ x3 = x i 3√ 8 = 2
Zatim potvrdite je li to savršena kocka:
3. x2. 2 = 6x2
3. x. 22 = 12x
Budući da su pronađeni pojmovi jednaki pojmovima u polinomu, tada je to savršena kocka.
Dakle, faktorizacija će biti:
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
b) Faktor polinoma a3 - 9.2 + 27. - 27.
Prvo izračunajmo kubični korijen izraza kocka:
3do3 = a i 3√ - 27 = - 3
Zatim potvrdite je li to savršena kocka:
3. The2. (-3) = - 92
3. The. (- 3)2 = 27.
Budući da su pronađeni pojmovi jednaki pojmovima u polinomu, tada je to savršena kocka.
Dakle, faktorizacija će biti:
The3 - 9.2 + 27a - 27 = (a - 3)3
Pročitajte i vi:
- Potenciranje
- Polinomi
- Polinomska funkcija
- primarni brojevi
Riješene vježbe
U obzir uzmite sljedeće polinome:
a) 33x + 22g - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 -2
e) 9.2 + 12. + 4
a) 11. (3x + 2g - 5z)
b) 6n. (x - y)
c) (x - 2c). (4 + m)
d) (7 + a). (7 - a)
e) (3. + 2)2
Pogledajte i:
- Algebarski izrazi
- Vježbe iz algebarskih izraza
- Značajni proizvodi
- Značajni proizvodi - vježbe
