Linearni sustavi: što su, kako riješiti, vrste

Riješiti sustavimalinearno to je vrlo ponavljajući zadatak za studije u poljima prirodnih znanosti i matematike. Potraga za nepoznatim vrijednostima dovela je do razvoja metoda za rješavanje linearnih sustava, poput metode zbrajanja, jednakosti i supstitucije za sustave koji imaju dvije jednadžbe i dvije nepoznanice, i Crammerovo pravilo i skaliranje, koji rješavaju linearne sustave dviju jednadžbi, ali koji su prikladniji za sustave s više jednadžbi. Linearni sustav je skup dviju ili više jednadžbi s jednom ili više nepoznanica.

Pročitajte i vi:Kakav je odnos između matrica i linearnih sustava?

Linearni sustavi.

Linearna jednadžba

Rad s jednadžbama postoji zbog treba pronaći nepoznate nepoznate vrijednosti. Jednadžbom ga nazivamo kada imamo algebarski izraz s jednakošću, a klasificira se kao linearni kada je najveći eksponent njegovih nepoznanica 1, kao što je prikazano u sljedećim primjerima:

2x + y = 7 → linearna jednadžba s dvije nepoznanice

a + 4 = -3 → linearna jednadžba s jednom nepoznatom

Općenito govoreći, linearna se jednadžba može opisati na sljedeći način:

The₁x₁ + the₂x₂ + a3x3... + a_Nex_Ne = c

Kao sustav jednadžbi znamo kada postoji više od jedne linearne jednadžbe. Krenut ćemo s linearnim sustavima dviju nepoznanica.

Rješavanje linearnih sustava

• Linearni sustavi s dvije jednadžbe 1. stupnja i dvije nepoznanice

Da bi se riješio sustav dviju jednadžbi i dvije nepoznanice, postoji nekoliko metode, tri najpoznatija su:

• metoda usporedbe
• metoda zbrajanja
• metoda supstitucije

Bilo koja od ove tri može riješiti linearni sustav dviju jednadžbi i dvije nepoznanice. Ove metode nisu toliko učinkoviti za sustave s više jednadžbi, jer postoje i druge specifične metode za njihovo rješavanje.

• Zamjenska metoda

Metoda zamjene sastoji se od izolirati jednu od nepoznanica u jednoj od jednadžbi i izvršiti zamjenu u drugoj jednadžbi.

Primjer:

1. korak: izolirati jednu od nepoznanica.

I nazivamo prvom jednadžbom, a II drugom jednadžbom. Analizirajući to dvoje, krenimo odaberite nepoznato koje je najlakše izolirati. Imajte na umu da u jednadžba I → x + 2y = 5, x nema koeficijent, što olakšava izolaciju, pa ćemo prepisati jednadžbu koja mi se sviđa ovako:

I → x + 2y = 5

I → x = 5 - 2g

2. korak: zamijeniti I u II.

Sad kad imamo jednadžbu I samo s x, u jednadžbi II možemo x zamijeniti s 5 - 2y.

II → 3x - 5y = 4

Zamjena x sa 5 - 2 g:

3 (5 - 2 g) - 5 g = 4

Sad kad jednadžba ima samo jednu nepoznatu, moguće ju je riješiti kako bi se pronašla vrijednost y.

Znajući vrijednost y, vrijednost x pronaći ćemo zamjenom vrijednosti y u jednadžbi I.

I → x = 5 - 2g

x = 5 - 2 · 1

x = 5 - 2

x = 3

Dakle, rješenje sustava je S = {3,1}.

• Metoda usporedbe

Metoda usporedbe sastoji se od izolirati nepoznato u dvije jednadžbe i izjednačiti ove vrijednosti.

Primjer:

1. korak: neka ja budem prva jednadžba, a II druga, izolirajmo jednu od nepoznanica u I i II. Odlučujući izolirati nepoznati x, moramo:

2. korak: izjednačite dvije nove jednadžbe, budući da je x = x.

3. korak: zamijenite vrijednost y s -2 u jednoj od jednadžbi.

x = -4 - 3 g

x = -4 - 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

Dakle, rješenje ovog sustava je skup S = {2, -2}.

Pogledajte i: Koje su razlike između funkcije i jednadžbe?

• metoda zbrajanja

Metoda zbrajanja sastoji se u izvođenju množenja svih članaka jedne od jednadžbi, na takav način da, kad dodajući jednadžbu I jednadžbi II, jedna od njezinih nepoznanica jednaka je nuli.

Primjer:

1. korak: pomnoži jednu od jednadžbi tako da koeficijenti budu suprotni.

Imajte na umu da ako pomnožimo jednadžbu II s 2, imamo 4y u jednadžbi II i -4y u jednadžbi I, i to sa zbrojimo I + II, imamo 0y, pa pomnožimo sve pojmove u jednadžbi II s 2 tako da ovo dogoditi se.

I → 5x - 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

2. korak: izvesti zbroj I + 2 · II.

3. korak: zamijenite vrijednost x = 3 u jednu od jednadžbi.

• Linearni sustavi s tri jednadžbe 1. stupnja i tri nepoznanice

Kada sustav ima tri nepoznanice, usvajamo druge metode rješavanja. Sve ove metode odnose koeficijente na matrice, a najčešće korištene metode su Crammerovo pravilo ili skaliranje. Za razlučivost u obje metode potreban je matrični prikaz sustava, čak i 2x2 sustav može biti predstavljen pomoću matrice. Dvije su moguće predstave, cjelovita matrica i nepotpuna matrica:

Primjer:

Sustav 

Može biti predstavljen puna matrica

I za nepotpuna matrica

• Crammerovo pravilo

Da biste pronašli rješenja za sustav 3x3 s nepoznatim x, y i z, koristeći Crammerovo pravilo, potrebno je izračunati odrednicu nepotpune matrice i njezine varijacije. Dakle, moramo:

D → odrednica nepotpune matrice sustava.

D_x → odrednica nepotpune matrice sustava, zamjenjujući stupac x stupcem neovisnih pojmova.

D_g → odrednica nepotpune matrice sustava, zamjenjujući stupac y stupcem neovisnih pojmova.

D_z → odrednica nepotpune matrice sustava, zamjenjujući stupac z z stupcem nezavisnih pojmova.

Dakle, da bismo pronašli vrijednost vaših nepoznanica, prvo moramo izračunati determinanta DD_x, D_g povezan sa sustavom.

Primjer:

1. korak: izračunaj D.

2. korak: izračunati D_x.

3. korak: tada možemo pronaći vrijednost x, jer:

4. korak: izračunaj D_g.

5. korak: tada možemo izračunati vrijednost y:

6. korak: sada kada znamo vrijednost x i y, u bilo kojem retku možemo pronaći vrijednost z zamjenom vrijednosti x i y i izoliranjem z. Druga je mogućnost izračunati D_z.

Zamjenom x = 0 i y = 2 u prvoj jednadžbi:

2x + y - z = 3

2 · 0 + 2 - z = 3

0 + 2 - z = 3

-z = 3 - 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

Stoga je sistemsko rješenje natječaj (0,2, -1).

Također pristupite: Rješavanje problema jednadžbenim sustavima

• skaliranje

Druga metoda rješavanja linearnih sustava je skaliranje, u kojoj koristimo samo kompletnu matricu i operacije između linija kako bismo izolirali njihove nepoznanice. Skalirajmo sustav u nastavku.

1. korak: napiši kompletnu matricu koja predstavlja sustav.

biti L₁, L₂ i L₃ odnosno linije 1, 2 i 3 matrice, izvodit ćemo operacije između L₁ i L₂ i L₁ i L₃, tako da rezultat čini pojmove u prvom stupcu drugog i trećeg retka jednakim nuli.

Analizirajući drugi redak matrice, zamijenimo ga rezultatom L2 → -2 · L1 + L2, kako bismo poništili pojam a21.

The₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

The₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

The₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

The₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

Dakle, L₂ bit će 0 -3 7 -17.

Analizirajući treći red matrice, zamijenimo je rezultatom L3 → 3L1 + L_2, kako bi se pojam resetirao na_31.

The₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

The₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

The₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

The₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

Dakle, L₃ bit će 0 8 -8 24.

Imajte na umu da su svi djeljivi sa 8, tako da je linija L₃ pojednostavnimo, podijelimo s 8.

L₃ → L₃ : 8 bit će: 0 1-1 3.

Tako će nova matrica skalirane jednadžbe biti:

Sada je cilj resetiranje stupca y u trećem redu, izvršit ćemo operacije između L₂ i L₃, s ciljem resetiranja drugog stupca jednog od njih.

Zamijenit ćemo L3 s L3 → L₂ + 3L₃.

The₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

The₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

The₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

The₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

Dakle L₃ bit će: 0 0 4 -8.

Nova skalirana matrica bit će:

Sada, kada ponovo predstavimo ovu matricu kao sustav, dodajući x, y i z u stupce, naći ćemo sljedeće:

Tada možemo pronaći vrijednost svake od nepoznanica. Analizirajući jednadžbu III, moramo:

Ako je z = -2, zamijenimo vrijednost z u drugu jednadžbu:

Napokon, u prvoj jednadžbi, zamijenimo vrijednost y i z da bismo pronašli vrijednost x.

Pogledajte i: Sustav nejednakosti 1. stupnja - kako ga riješiti?

klasifikacija linearnog sustava

Linearni sustav je skup linearnih jednadžbi, koji može imati nekoliko nepoznanica i nekoliko jednadžbi. Postoji nekoliko metoda za njegovo rješavanje, bez obzira na broj jednadžbi. postoje tri ocjene za linearni sustav.

• Utvrđeni mogući sustav (SPD): kad imate jedno rješenje.
• Neodređeni mogući sustav (SPI): kad ima beskonačna rješenja.
• nemogući sustav(SI): kad nema rješenja.

Riješene vježbe

Pitanje 1 (IFG 2019) Razmotrimo zbroj mjerenja osnove i visine u odnosu na tu osnovu trokuta jednaku 168 cm i razliku jednaku 24 cm. Ispravno je tvrditi da su mjere osnove i visine u odnosu na ovu mjeru osnove:

a) 72 cm i 96 cm

b) 144 cm i 24 cm

c) 96 cm i 72 cm

d) 24 cm i 144 cm

Razlučivost

Alternativa C.

Neka su h → visina i b → baza, tada imamo sljedeći sustav:

Metodom zbrajanja moramo:

Da bismo pronašli vrijednost h, zamijenimo b = 96 cm u prvu jednadžbu:

b + h = 168

96 + h = 168

h = 168 - 96

v = 72 cm

pitanje 2 Nepotpuna matrica koja predstavlja sljedeći linearni sustav je:

Razlučivost

Alternativa C.

Nepotpuna matrica je ona koja ima koeficijente x, y i z, pa će to biti matrica 3x3. Analizirajući alternative, ono koje sadrži matricu 3x3 s točnim znakovima je slovo C.

Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike

Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm