Inverzna matrica: što je to, kako pronaći vježbe

Koncept inverzna matrica dolazi vrlo blizu konceptu inverznog broja. Sjetimo se da je obrnuta od broja Ne je broj Ne^-1, pri čemu je proizvod između njih dvoje jednak neutralnom elementu množenje, odnosno broj 1. Već inverzna matrica M je matrica M^-1, gdje je proizvod M · M^-1jednak je matrici identiteta I_Ne,što nije ništa drugo nego neutralni element množenja matrica.

Da bi matrica imala inverzu, ona mora biti kvadratna, a osim toga, njena odrednica mora se razlikovati od nule, inače neće biti inverzne. Da bismo pronašli inverznu matricu, koristimo matričnu jednadžbu.

Pročitajte i vi: Trokutasta matrica - posebna vrsta kvadratne matrice

Da bi matrica imala inverzu, mora biti kvadratna.

Matrica identiteta

Da bismo razumjeli što je inverzna matrica, prvo je potrebno znati matricu identiteta. Kao matricu identiteta znamo kvadratnu matricu I_Ne gdje su svi elementi glavne dijagonale jednaki 1, a ostali pojmovi jednaki 0.

THE matrica identiteta je neutralni element množenja između matrica., odnosno s obzirom na a

instagram story viewer

zapovjedništvo M reda n, umnožak između matrice M i matrice I_Ne jednak je matrici M.

M · I_Ne = M

Kako izračunati inverznu matricu

Da bi se pronašla inverzna matrica M, potrebno je riješiti matričnu jednadžbu:

M · M^-1 = Ja_Ne

Primjer

Naći inverznu matricu M.

Budući da ne znamo inverznu matricu, predstavimo je matricu algebarski:

Znamo da umnožak između ovih matrica mora biti jednak I₂:

Riješimo sada matričnu jednadžbu:

Problem je moguće razdvojiti na dva dijela sustavi od jednadžbe. Prvi koristi prvi stupac matrice M · M^-1 i prvi stupac matrice identiteta. Dakle, moramo:

Da bismo riješili sustav, izolirajmo₂₁ u jednadžbi II i zamjenu u jednadžbi I.

Zamjenom u jednadžbu I moramo:

Kako ćemo pronaći vrijednost a₁₁, tada ćemo pronaći vrijednost a₂₁:

Znajući vrijednost a₂₁ i₁₁, sada ćemo vrijednost ostalih pojmova pronaći postavljanjem drugog sustava:

izolirajući₂₂ u jednadžbi III, moramo:

3.₁₂ + 1.₂₂= 0

The₂₂ = - 3.₁₂

Zamjena u jednadžbi IV:

5.₁₂ + 2.₂₂=1

5.₁₂ + 2 · (- 3.₁₂) = 1

5.₁₂ - 6.₁₂ = 1

- a₁₂ = 1 ( – 1)

The₁₂ = – 1

Znajući vrijednost a₁₂, naći ćemo vrijednost a₂₂:

The₂₂ = - 3.₁₂

The₂₂ = – 3 · ( – 1)

The₂₂ = 3

Sad kad znamo sve pojmove matrice M^-1, moguće ga je predstaviti:

Pročitajte i vi: Zbrajanje i oduzimanje matrica

Inverzna svojstva matrice

Postoje svojstva koja proizlaze iz definiranja inverzne matrice.

1. svojstvo: inverzna matrica M^-1 jednak je matrici M. Inverzna inverzna matrica uvijek je sama matrica, to jest (M^-1)^-1 = M, jer znamo da je M^-1 · M = I_Ne, dakle M^-1 je inverzna M, a također je M inverzna M^-1.
2. svojstvo: inverzna matrice identiteta je sama po sebi: I^-1 = I, jer proizvod matrice identiteta sam po sebi rezultira matricom identiteta, to jest I_Ne · Ja_Ne = Ja_Ne.
3. svojstvo: inverzna vrijednost umnožak dvije matricejesi li jednak je umnošku inverza:

(M × V)^-1 = M^-1· A^-1.

4. svojstvo: kvadratna matrica ima inverzno ako i samo ako je determinanta razlikuje se od 0, odnosno det (M) ≠ 0.

riješene vježbe

1) S obzirom na matricu A i matricu B, znajući da su inverzne, tada je vrijednost x + y:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Rješenje:

Alternativa d.

Izgradnja jednadžbe:

A · B = I

U drugom stupcu, jednakom pojmova, moramo:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Izoliranje x u I:

Zamjena u jednadžba II, moramo:

Znajući vrijednost y, pronaći ćemo vrijednost x:

Sad izračunajmo x + y:

pitanje 2

Matrica ima inverzu samo kad se njena odrednica razlikuje od 0. Gledajući donju matricu, koje su x vrijednosti zbog kojih matrica ne podržava obrnuto?