Koncepti višestruke i razdjelnici prirodnog broja protežu se na skup cijeli brojevi. Kad se bavimo temom višekratnika i djelitelja, pozivamo se na numerički skupovi koji zadovoljavaju neke uvjete. Višestruki se nalaze nakon množenja s cijelim brojevima, a djelitelji su brojevi koji se dijele s određenim brojem.
Zbog toga ćemo pronaći podskupine cijelih brojeva, jer su elementi skupova višekratnika i djelitelji elementi skupa cijelih brojeva. Da bismo razumjeli što su prosti brojevi, potrebno je razumjeti pojam djelitelja.
višekratnici broja
biti The i B dvije poznate cijele brojke, broj The je višestruko od B ako i samo ako postoji cijeli broj k takav da The = B · K. Dakle, skup višestrukih u Thedobiva se množenjemTheza sve cijele brojeve, rezultati ovih množenja su višekratnici od The.
Na primjer, navedimo prvih 12 višekratnika od 2. Za to moramo broj 2 pomnožiti s prvih 12 cijelih brojeva, ovako:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Stoga su višekratnici 2:
M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Imajte na umu da smo naveli samo prvih 12 brojeva, ali mogli smo ih navesti koliko je potrebno, jer se popis višekratnika daje množenjem broja sa svim cijelim brojevima. Tako, skup višekratnika je beskonačan.
Da bismo provjerili je li broj višekratnik drugog, moramo pronaći cijeli broj tako da množenjem između njih dobijemo prvi broj. Pogledajte primjere:
→ Broj 49 je višekratnik 7, jer postoji cijeli broj koji pomnožen sa 7 rezultira 49.
49 = 7 · 7
→ Broj 324 je višekratnik od 3, jer postoji cijeli broj koji pomnožen s 3 rezultira 324.
324 = 3 · 108
→ Broj 523 Ne je višekratnik 2 jer nema cijelog broja što pomnoženo s 2 rezultira 523.
523 = 2 · ?
Pročitajte i vi: Svojstva množenja koja olakšavaju mentalno računanje
Višekratnici od 4
Kao što smo vidjeli, da bismo odredili višekratnike broja 4, moramo broj 4 pomnožiti s cijelim brojevima. Tako:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Stoga su višekratnici 4:
M (4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Višekratnici od 5
Analogno tome imamo višekratnike od 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
Dakle, višekratnici od 5 su: M (5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,…}
razdjelnici jednog broja
biti The i B dvije poznate cijele brojke, recimo B je razdjelnik The ako broj B je višestruko od The, odnosno podjela između B i The je točno (mora napustiti odmor 0).
Pogledajte nekoliko primjera:
→ 22 je višekratnik 2, pa je 2 djelitelj 22.
→ 63 je višekratnik 3, pa je 3 djelitelj 63.
→ 121 nije višekratnik 10, pa 10 nije djelitelj 121.
Da bismo popisali djelitelje broja, moramo potražiti brojeve koji ga dijele. Izgled:
- Navedi razdjelnike 2, 3 i 20.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Imajte na umu da su brojevi na popisu djelitelja uvijek djeljivi s dotičnim brojem i to najviša vrijednost koja se pojavljuje na ovom popisu je sam broj., budući da niti jedan broj veći od njega neće biti djeljiv s njim.
Primjerice, u djeliteljima od 30, najveća vrijednost na ovom popisu je sama 30, jer niti jedan broj veći od 30 neće biti djeljiv s njom. Tako:
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Znati više: Zabavne činjenice o dijeljenju prirodnih brojeva
Vlasništvo višekratnika i djelitelja
Ova svojstva su povezana sa podjela između dva cijela broja. Imajte na umu da kada je cijeli broj višestruki od drugog, on je također djeljiv s tim drugim brojem.
Razmotrite algoritam podjele kako bismo mogli bolje razumjeti svojstva.
N = d · q + r, gdje su q i r cijeli brojevi.
Zapamti to N Zove se od dividende;d, za razdjelnik;q, za količnik; i r, usput.
→ Svojstvo 1: Razlika između dividende i ostatka (N - r) je višekratnik djelitelja ili je broj d djelitelj (N - r).
→ Svojstvo 2: (N - r + d) je višekratnik d, odnosno broj d je djelitelj (N - r + d).
Pogledajte primjer:
- Prilikom dijeljenja 525 na 8 dobivamo količnik q = 65, a ostatak r = 5. Dakle, imamo dividendu N = 525 i djelitelj d = 8. Pazite da su svojstva zadovoljena jer je (525 - 5 + 8) = 528 djeljivo sa 8 i:
528 = 8 · 66
primarni brojevi
Vas primarni brojevi jesu li oni koji imaju kao djelitelj u svom popisu samo broj 1 i sam broj. Da biste provjerili je li broj prost ili nije, jedna od najvažnijih trivijalnih metoda je navođenje djelitelja tog broja. Ako se pojave brojevi veći od 1 i dotični broj, to nije prost.
→ Provjeri koji su prosti brojevi između 2 i 20. Za to navedimo djelitelje svih ovih brojeva između 2 i 20.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
D (16) = {1, 2, 4, 16}
D (17) = {1, 17}
D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D (19) = {1, 19}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Dakle, prosti brojevi između 2 i 20 su:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i 19}
Imajte na umu da je set iz nekih prvih brojeva, ovaj se popis nastavlja. Imajte na umu da što je broj veći, to je teže odrediti je li to prost ili nije.
Čitaj više: Iracionalni brojevi: oni koji se ne mogu predstaviti u razlomcima
riješene vježbe
Pitanje 1 - (UMC-SP) Broj elemenata u skupu prostih djelitelja od 60 je:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 10
Riješenje
Alternativa A
Prvo ćemo navesti djelitelje 60, a zatim ćemo pogledati koji su glavni.
D (60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Od ovih brojeva imamo glavne:
{2, 3, 5}
Stoga je broj glavnih djelitelja od 60 3.
pitanje 2 - Napišite sve prirodne brojeve manje od 100 i višekratnike od 15.
Riješenje
Znamo da su višekratnici od 15 rezultat množenja broja 15 sa svim cijelim brojevima. Budući da vježba traži da napišemo prirodne brojeve manje od 100, a koji su višekratnici od 15, moramo pomnožite 15 sa svim brojevima većim od nule, sve dok ne nađemo najveći višekratnik prije 100, Tako:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Stoga su prirodni brojevi manji od 100 i višekratnici od 15:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
pitanje 3 - Koji je najveći umnožak broja 5 između 100 i 1001?
Riješenje
Da biste odredili najveći višekratnik 5 između 100 i 1001, jednostavno identificirajte prvi višekratnik 5 natrag naprijed.
1001 nije višekratnik 5, jer ne postoji cijeli broj koji pomnožen s 5 rezultira 1001.
1000 je višekratnik 5, jer je 1000 = 5 · 200.
Stoga je najveći umnožak broja 5, između 100 i 1001, 1000.
napisao Robson Luiz
Učitelj matematike
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm