Zbroj pojmova aritmetičke progresije

Jedan aritmetička progresija (PA) je a slijed numerički u kojem je svaki pojam zbroj prethodnog s konstantom, koji se naziva odnos. Oni postoje matematički izrazi kako bi se odredio rok PA i izračunao zbroj njegovog Ne prvi pojmovi.

Formula koja se koristi za izračunavanje zbroj pojmova konačnog PA ili zbroja Ne prvi je izraz PA sljedeći:

s_Ne = na₁ + the_Ne)
2

* n je broj BP uvjeta; The₁ je prvi pojam, a_Ne je posljednja.

Podrijetlo zbroja uvjeta PA

Kaže se da je njemački matematičar Carl Friederich Gauss, s otprilike 10 godina, bio kažnjen svojim razredom u školi. Učitelj je rekao učenicima da zbroje sve brojeve koji se pojavljuju u slijed od 1 do 100.

Gauss nije samo prvi završio u vrlo kratkom vremenskom roku, već je i jedini uspio postići pravi rezultat (5050). Nadalje, nije pokazao nikakve izračune. Ono što je učinio je popravak sljedeće imovine:

Zbroj dvaju pojmova jednako udaljenih od krajnosti konačnog PA jednak je zbroju krajnosti.

Nije bilo znanja o PAN u to vrijeme, ali Gauss je pregledao popis brojeva i shvatio da će dodavanje prvog posljednjem rezultirati 101; dodajući drugo pretposljednjem, rezultat bi također bio 101 i tako dalje. Kao zbroj svih parova pojmova

jednako udaljeni od krajnosti došlo je do 101, Gauss je samo trebao pomnožiti taj broj s polovicom raspoloživih pojmova kako bi pronašao rezultat 5050.

Imajte na umu da od broja 1 do broja 100 postoji točno 100 brojeva. Gauss je shvatio da će, ako ih zbroji dva po dva, dobiti 50 rezultata jednakih 101. Stoga je ovo množenje učinjeno za polovicu ukupnih članova.

Demonstracija zbroja pojmova PA

Iz ovog je podviga nastao izraz koji se koristi za izračunavanje zbroj od Ne prvi uvjeti PA. Taktika koja se koristila za postizanje ovog izraza je sljedeća:

dao jedan PAN bilo koji, dodat ćemo prvih n njegovih uvjeta. Matematički ćemo imati:

s_Ne = the₁ + the₂ + the₃ +… +_{n - 2} + the_{n - 1} + the_Ne

Odmah ispod ovoga zbroj pojmova, napisat ćemo još jedan, s istim pojmovima kao i prethodni, ali u opadajućem smislu. Imajte na umu da je zbroj pojmova u prvom jednak zbroju pojmova u drugom. Stoga su obje izjednačene sa S_Ne.

s_Ne = the₁ + the₂ + the₃ +… +_{n - 2} + the_{n - 1} + the_Ne

s_Ne = the_Ne + the_{n - 1} + the_{n - 2} +… +₃ + the₂ + the₁

Imajte na umu da su ova dva izraza dobivena iz jednog PAN te da su jednako udaljeni pojmovi poravnati okomito. Stoga možemo dodati izraze da bismo dobili:

s_Ne = the₁ + the₂ + the₃ +… +_{n - 2} + the_{n - 1} + the_Ne

+ s_Ne = the_Ne + the_{n - 1} + the_{n - 2} +… +₃ + the₂ + the₁

2S_Ne = (₁ + the_Ne) + (a₂ + the_{n - 1}) +… + (A_{n - 1} + the₂) + (a_Ne + the₁)

Imajte na umu da je zbroj pojmova jednako udaljenih od krajnosti jednak zbroju krajnosti. Stoga se svaka zagrada može zamijeniti zbrojem krajnosti, kao što ćemo učiniti sljedeće:

2S_Ne = (₁ + the_Ne) + (a₁ + the_Ne) +... + (₁ + the_Ne) + (a₁ + the_Ne)

Gaussova ideja bila je dodati jednako udaljene članove niza. Tako je dobio pola iznosa termina PAN u rezultatima 101. Napravili smo tako da je svaki pojam početnog BP-a dodan svojoj jednako udaljenoj vrijednosti, čuvajući svoju broj pojmova. Dakle, kako je PA imao n članaka, možemo promijeniti zbroj, u gore navedenom izrazu, množenjem i riješiti jednadžba pronaći:

2S_Ne = (₁ + the_Ne) + (a₁ + the_Ne) +... + (₁ + the_Ne) + (a₁ + the_Ne)

2S_Ne = n (a₁ + the_Ne)

s_Ne = na₁ + the_Ne)
2

To je točno formula koja se koristi za dodavanje Ne prvi uvjeti PA.

Primjer

S obzirom na P.A (1, 2, 3, 4), odredite zbroj njegovih prvih 100 članova.

Riješenje:

Trebat ćemo pronaći izraz a₁₀₀. Za to ćemo upotrijebiti formula općeg pojma PA-a:

The_Ne = the₁ + (n - 1) r

The₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

The₁₀₀ = 1 + 99

The₁₀₀ = 100

Sada formula za zbrajanje prvih n pojmova:

s_Ne = na₁ + the_Ne)
2

s₁₀₀ = 100(1 + 100)
2

s₁₀₀ = 100(101)
2

s₁₀₀ = 10100
2

s₁₀₀ = 5050

Napisao Luiz Paulo Moreira
Diplomirao matematiku

Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm