Logaritam je vrlo važan alat ne samo za područje matematika, jer ima primjenu u nekoliko područja znanosti, poput geografije, kemije i računarstva.
Povijesno gledano logaritam nastaje radi olakšavanja računa koji su se često pojavljivali u nekoliko znanstvenih područja. John Napier pionir je proučavanja logaritama i uspio je razviti operaciju sposobnu za transformaciju proizvoda u iznos, podjele na oduzimanja i potencije u množenjima.
Definirajući ovu operaciju, s vremenom su se drugi matematičari formalizirali definicije i svojstva, uz to, dobro poznato tablica dnevnika.
Definicija logaritma
Skicirajte graf funkcije logaritma (desno) i njegove eksponencijalne inverzne vrijednosti (lijevo).
uzeti u obzir dva stvarni brojevi pozitivan The i B, sa do ≠ 0. logaritam B u podnožju The je broj x ako i samo ako, The podignuta na x jednak je broju B.
Nomenklatura:
→ baza
b → logaritam
x → logaritam
Pogledajte primjere:
Kada logaritam ima bazu koja je jednaka 10, on se naziva decimalni logaritam. Pri registraciji decimalnog dnevnika nije potrebno pisati bazu 10. Dogovoreno je da:
Pročitajte i vi: Decimalni sustav logaritma
Kako izračunati logaritam?
Da bismo izračunali logaritam, moramo potražiti a broj koji kad povisimo bazu rezultira logaritmom. Uzimajući za primjer logaritam 36 iz baze 6 u prethodnom primjeru, trebali bismo pronaći broj koji, kada povisimo bazu 6, rezultira s 36. poput 62 = 36, s odgovorom 2. Pogledajmo još primjera:
1) Dnevnik 1000. Da bismo izračunali ovaj logaritam, moramo pronaći broj koji je povišen na 10 jednak 1000, odnosno 10x = 1000.
Rješavajući eksponencijalnu jednadžbu, imamo:
10x=1000
10x = 103
x = 3
Stoga,
1. Izračunajte logaritam:
Moramo pronaći broj koji je do korijena 7 jednak četrdeset devedesetki. Rješavajući jednadžbu, imamo:
Čitaj više: Eksponencijalna jednadžba - jednadžba s nepoznatim u eksponentu
Uvjet postojanja logaritma
Uzmite u obzir sljedeći logaritam:
Izraz je definiran samo kada je baza veća od nule i razlikuje se od jedinice i kada je baza veća od nule, to jest:
a> 0 i a ≠ 0
b> 0
Vlasništvo nad logaritmima
Pogledajte glavne u nastavku. svojstva logaritama. Svi ovdje navedeni logaritmi zadovoljavaju uvjet postojanja.
Vlasništvo 1
Logaritam umnoška dvaju čimbenika jednak je zbroju logaritama tih čimbenika.
Vlasništvo 2
Logaritam količnika između dva broja jednak je razlici logaritama tih brojeva.
Vlasništvo 3
Logaritam snage jednak je množenju eksponenta te snage logaritmom baze snage, pri čemu zadržavamo bazu logaritma.
Vlasništvo 4
Logaritam korijena jednak je inverznoj vrijednosti indeksa korijena pomnoženoj s logaritmom, gdje također zadržavamo bazu.
Vlasništvo 5
Logaritam broja u bazi podignutoj u stepen jednak je množenju inverzne vrijednosti eksponenta te baze.
Znati više: Primjeneogaritmi: vidjeti primjere
Riješene vježbe
Pitanje 1 - (Fuvest - SP) Ako je x5 = 1000 i b3 = 100, pa je logaritam x u bazi b:
A) 0,5
B) 0,9
C) 1.2
D) 1.5
E) 2,0
Riješenje
Budući da se brojevi 1000 i 100 mogu zapisati u bazu 10, imamo:
Zamjenom logaritma x u bazu b i primjenom definicije imamo:
pitanje 2 - (Enem) Hidrogeni potencijal (pH) otopine definira se kao indeks koji ukazuje na njezinu kiselost, neutralnost ili lužnatost. Nalazi se na sljedeći način:
biti H+ koncentracija vodikovih iona u toj otopini. PH otopine, gdje H+ = 1,0 ·10-9, é:
Riješenje:
Zamjena vrijednosti H+ u pH formuli imamo:
Napisao L.do Robson Luiz
Učitelj matematike
