Logaritam: što je to, kako izračunati, vježbe

Logaritam je vrlo važan alat ne samo za područje matematika, jer ima primjenu u nekoliko područja znanosti, poput geografije, kemije i računarstva.

Povijesno gledano logaritam nastaje radi olakšavanja računa koji su se često pojavljivali u nekoliko znanstvenih područja. John Napier pionir je proučavanja logaritama i uspio je razviti operaciju sposobnu za transformaciju proizvoda u iznos, podjele na oduzimanja i potencije u množenjima.

Definirajući ovu operaciju, s vremenom su se drugi matematičari formalizirali definicije i svojstva, uz to, dobro poznato tablica dnevnika.

Definicija logaritma

Skicirajte graf funkcije logaritma (desno) i njegove eksponencijalne inverzne vrijednosti (lijevo).

uzeti u obzir dva stvarni brojevi pozitivan The i B, sa do ≠ 0. logaritam B u podnožju The je broj x ako i samo ako, The podignuta na x jednak je broju B.

Nomenklatura:

→ baza

b → logaritam

x → logaritam

Pogledajte primjere:

Kada logaritam ima bazu koja je jednaka 10, on se naziva decimalni logaritam. Pri registraciji decimalnog dnevnika nije potrebno pisati bazu 10. Dogovoreno je da:

Pročitajte i vi: Decimalni sustav logaritma

Kako izračunati logaritam?

Da bismo izračunali logaritam, moramo potražiti a broj koji kad povisimo bazu rezultira logaritmom. Uzimajući za primjer logaritam 36 iz baze 6 u prethodnom primjeru, trebali bismo pronaći broj koji, kada povisimo bazu 6, rezultira s 36. poput 6² = 36, s odgovorom 2. Pogledajmo još primjera:

1) Dnevnik 1000. Da bismo izračunali ovaj logaritam, moramo pronaći broj koji je povišen na 10 jednak 1000, odnosno 10^x = 1000.

Rješavajući eksponencijalnu jednadžbu, imamo:

10^x=1000

10^x = 10³

x = 3

Stoga,

1. Izračunajte logaritam:

Moramo pronaći broj koji je do korijena 7 jednak četrdeset devedesetki. Rješavajući jednadžbu, imamo:

Čitaj više: Eksponencijalna jednadžba - jednadžba s nepoznatim u eksponentu

Uvjet postojanja logaritma

Uzmite u obzir sljedeći logaritam:

Izraz je definiran samo kada je baza veća od nule i razlikuje se od jedinice i kada je baza veća od nule, to jest:

a> 0 i a ≠ 0

b> 0

Vlasništvo nad logaritmima

Pogledajte glavne u nastavku. svojstva logaritama. Svi ovdje navedeni logaritmi zadovoljavaju uvjet postojanja.

• Vlasništvo 1

Logaritam umnoška dvaju čimbenika jednak je zbroju logaritama tih čimbenika.

• Vlasništvo 2

Logaritam količnika između dva broja jednak je razlici logaritama tih brojeva.

• Vlasništvo 3

Logaritam snage jednak je množenju eksponenta te snage logaritmom baze snage, pri čemu zadržavamo bazu logaritma.

• Vlasništvo 4

Logaritam korijena jednak je inverznoj vrijednosti indeksa korijena pomnoženoj s logaritmom, gdje također zadržavamo bazu.

• Vlasništvo 5

Logaritam broja u bazi podignutoj u stepen jednak je množenju inverzne vrijednosti eksponenta te baze.

Znati više: Primjeneogaritmi: vidjeti primjere

Riješene vježbe

Pitanje 1 - (Fuvest - SP) Ako je x⁵ = 1000 i b³ = 100, pa je logaritam x u bazi b:

A) 0,5

B) 0,9

C) 1.2

D) 1.5

E) 2,0

Riješenje

Budući da se brojevi 1000 i 100 mogu zapisati u bazu 10, imamo:

Zamjenom logaritma x u bazu b i primjenom definicije imamo:

pitanje 2 - (Enem) Hidrogeni potencijal (pH) otopine definira se kao indeks koji ukazuje na njezinu kiselost, neutralnost ili lužnatost. Nalazi se na sljedeći način:

biti H⁺ koncentracija vodikovih iona u toj otopini. PH otopine, gdje H⁺ = 1,0 ·10^-9, é:

Riješenje:

Zamjena vrijednosti H⁺ u pH formuli imamo:

Napisao L.do Robson Luiz
Učitelj matematike