A niz brojeva je skup brojeva organiziran na uredan način. Brojčani niz može se sastaviti pomoću različitih kriterija — na primjer, niz parnih brojeva ili niz višekratnika broja 3. Kada ovaj kriterij možemo opisati formulom, tu formulu nazivamo zakonom formiranja numeričkog niza.
Pročitajte također: Razlike između broja, brojke i znamenke
Sažetak o numeričkom nizu
Niz brojeva je popis brojeva poredanih po redu.
Numerički niz može slijediti različite kriterije.
Zakon pojavljivanja numeričkog niza je popis elemenata koji postoje u nizu.
Niz se može klasificirati na dva načina. Jedna uzima u obzir broj elemenata, a druga ponašanje.
Što se tiče broja elemenata, niz može biti konačan ili beskonačan.
Što se tiče ponašanja, slijed može biti rastući, konstantan, opadajući ili oscilirajući.
Kada se numerički niz može opisati jednadžbom, ta je jednadžba poznata kao zakon formiranja numeričkog niza.
Što su sekvence?
Sekvence su skupovi elemenata poredanih određenim redoslijedom. U našem svakodnevnom životu možemo uočiti nekoliko situacija koje uključuju nizove:
Redoslijed mjeseci: Siječanj, veljača, ožujak, travanj,..., prosinac.
Redoslijed godina prvih 5 svjetskih prvenstava u 21. stoljeću: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
Postoji nekoliko drugih mogućih nizova, kao što je niz imena ili niz godina. Kad god postoji utvrđeni poredak, postoji i slijed.
Svaki element niza poznat je kao član niza, tako da u nizu postoji prvi član, drugi član i tako dalje. općenito, niz se može prikazati pomoću:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(do 1\) → prvi termin.
\(a_2\) → drugi termin.
\(a_3\) → treći termin.
\(a_n\) → bilo koji termin.
Zakon pojavljivanja numeričkog niza
Možemo imati nizove različitih elemenata, kao što su mjeseci, imena, dani u tjednu, između ostalog. Aniz je numerički niz kada uključuje brojeve. Možemo formirati niz parnih brojeva, neparnih brojeva, primarni brojevi, višekratnici 5 itd.
Niz je predstavljen korištenjem zakona pojavljivanja. Zakon pojavljivanja nije ništa više od popisa elemenata numeričkog niza.
Primjeri:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → niz neparnih brojeva od 1 do 15.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → niz brojeva koji su višekratnici broja 5.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → izmjenični niz između 1 i -1.
Koja je klasifikacija numeričkog niza?
Sekvence možemo klasificirati na dva različita načina. Jedan od njih je uzimanje u obzir broja elemenata, a drugi je uzimanje u obzir ponašanja tih elemenata.
→ Klasifikacija numeričkog niza prema broju elemenata
Kada klasificiramo niz prema broju elemenata, postoje dvije moguće klasifikacije: konačni niz i beskonačni niz.
◦ Konačni niz brojeva
Niz je konačan ako ima ograničen broj elemenata.
Primjeri:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Beskonačan niz brojeva
Niz je beskonačan ako ima neograničen broj elemenata.
Primjeri:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ Klasifikacija numeričkog niza prema ponašanju niza
Drugi način klasifikacije je prema ponašanju niza. U tom slučaju niz može biti rastući, konstantan, oscilirajući ili opadajući.
◦ Rastući niz brojeva
Niz se povećava ako je član uvijek veći od svog prethodnika.
Primjeri:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Konstantni niz brojeva
Niz je konstantan kada svi članovi imaju istu vrijednost.
Primjeri:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Silazni niz brojeva
Niz je padajući ako su članovi u nizu uvijek manji od svojih prethodnika.
Primjeri:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Oscilirajući niz brojeva
Niz je oscilirajući ako naizmjenično postoje članovi veći od svojih prethodnika i članovi manji od svojih prethodnika.
Primjeri:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
Zakon formiranja numeričkog niza
U nekim slučajevima moguće je opisati niz pomoću formule, no to nije uvijek moguće. Na primjer, niz prostih brojeva je dobro definiran niz, no ne možemo ga opisati pomoću formule. Poznavajući formulu, mogli smo konstruirati zakon pojavljivanja numeričkog niza.
Primjer 1:
Niz parnih brojeva većih od nule.
\(a_n=2n\)
Imajte na umu da prilikom zamjene n za jednog prirodni broj (1, 2, 3, 4, ...), pronaći ćemo paran broj:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
Dakle, imamo formulu koja generira članove niza koji čine parni brojevi veći od nule:
(2, 4, 6, 8, ...)
Primjer 2:
Niz prirodnih brojeva veći od 4.
\(a_n=4+n\)
Računajući članove niza, imamo:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
Zapisivanje zakona pojavljivanja:
(5, 6, 7, 8,…)
Vidi također: Aritmetička progresija — poseban slučaj numeričkog niza
Riješene vježbe o numeričkom nizu
Pitanje 1
Numerički niz ima zakon tvorbe jednak \(a_n=n^2+1\). Analizirajući ovaj niz, možemo reći da će vrijednost 5. člana niza biti:
A) 6
B) 10
C) 11
D) 25
E) 26
rezolucija:
Alternativa E
Računajući vrijednost 5. člana niza, imamo:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
pitanje 2
Analizirajte sljedeće numeričke nizove:
ja (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Možemo reći da su sekvence I, II i III klasificirane redom kao:
A) rastuće, oscilirajuće i opadajuće.
B) opadajuće, rastuće i oscilirajuće.
C) oscilirajući, stalni i rastući.
D) opadajuća, oscilirajuća i konstantna.
E) oscilirajući, opadajući i rastući.
rezolucija:
Alternativa C
Analizirajući nizove, možemo reći da:
ja (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Oscilira, jer postoje termini koji su veći od svojih prethodnika i termini koji su manji od svojih prethodnika.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
On je konstantan, jer su članovi niza uvijek isti.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Povećava se jer su termini uvijek veći od svojih prethodnika.
