Volumen kugle: formula, kako izračunati, primjer

O volumen sfereizračunava se na temelju mjerenja njegovog radijusa. Kugla je geometrijski oblik koji ima tri dimenzije. Glavni elementi kugle su polumjer i promjer. Volumen sfere izračunava se pomoću specifične formule koja će biti predstavljena u nastavku. Osim volumena, možemo izračunati površinu kugle.

Pročitajte također: Kako izračunati obujam cilindra

Sažetak volumena kugle

  • Nekoliko predmeta u našem svakodnevnom životu ima sferni oblik, poput nogometne lopte.
  • Glavni elementi kugle su polumjer i promjer.
  • Za izračun volumena kugle koristimo se formulom:

\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)

  • Postoje i druge važne formule, kao što je formula za područje sfere: \(A=4\pi r^2\).

Video lekcija o volumenu kugle

Što je sfera?

Sfera je jedan trodimenzionalni oblik, definiran kao trodimenzionalni lik čije su točke jednako udaljene od središta. To je jedan od najsimetričnijih oblika i prisutan je u našem svijetu na mnogo načina. Možemo uočiti prisutnost sfere u prirodi, u ljudskom tijelu, u proučavanju planeta, između ostalih situacija u našem svakodnevnom životu.

Sportske lopte u tekstu na volumenu kugle.
Lopte u većini sportova imaju oblik sfere.

Kugla je geometrijsko tijelo. Biljarska, nogometna i košarkaška lopta su primjeri sfera. Sastoji se od svih točaka koje su na stalnoj udaljenosti od središnje točke koja se naziva središte sfere. A ta konstantna udaljenost poznata je kao polumjer sfere.

Elementi sfere

Kugla ima nekoliko zanimljivih dijelova:

  • Centar: kao što ime govori, to je točka koja se nalazi u središtu sfere.
  • Promjer: isječak ravne linije koji spaja dvije suprotne točke na sferi, prolazeći kroz središte.
  • Zraka: segment koji ide od središta do bilo koje točke na površini.
  • Površinski: vanjski sloj sfere.
  • Iznutra: prostor unutar sfere.
Kugla sa središtem O u tekstu o volumenu kugle.
Kugla sa središtem O i polumjerom OB.

Kako se izračunava volumen kugle?

Izračunava se volumen kugle po formuli:

\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)

  • V: je volumen sfere.
  • A: je polumjer sfere.
  • π: je konstanta.

Okonstantna vrijednost πnajčešće se koristi približno 3,14, ali možemo uzeti u obzir π jednako približno 3, ili približno 3,1, ili čak približno 3,1415, ovisno o tome koliko decimalnih mjesta želimo uzeti u obzir, budući da π je iracionalan broj, a iracionalni brojevi imaju beskonačno mnogo decimalnih mjesta.

  • Primjer:

Kugla ima polumjer 6 cm. Koliki je volumen ove kugle s obzirom na to π=3?

rezolucija:

Izračunavanjem volumena kugle imamo:

\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)

\(V=\frac{4\cdot3\cdot6^3}{3}\)

\(V=\frac{12\cdot216}{3}\)

\(V=\frac{2592}{3}\)

\(V=864\ cm^3\)

Dakle, volumen ove kugle je 864 cm³.

Još jedna formula sfere

Osim prikazane formule za izračunavanje volumena kugle, postoji još jedna važna formula, a to je formula površine. Za izračunavanje površine kugle, formula je:

\(A=4\pi r^2\)

A površina sfere nije ništa drugo nego područje koje okružuje sferu. Na primjer, u plastičnoj lopti, sfera je cijela lopta, a površina je područje plastike koje je kontura te lopte.

  • Primjer:

Kolika je površina kugle polumjera 5 cm?

rezolucija:

Kao vrijednost π, nećemo ga zamijeniti nikakvom vrijednošću, pa:

\(A=4\cdot\pi\cdot5^2\)

\(A=4\cdot\pi\cdot25\)

\(A=100\pi\ cm²\)

Područje ove sfere je u 100πcm2.

Znati više: Koja je razlika između opsega, kruga i kugle?

Riješene vježbe o volumenu kugle

Pitanje 1

Kuglasti predmet ima polumjer 6 cm. Zatim volumen ovog objekta (koristeći π=3,14) približno je jednak:

A) 314,42 cm³

B) 288,00 cm³

C) 424,74 cm³

D) 602,38 cm³

E) 904,32 cm³

rezolucija:

Alternativa E

Zamjena vrijednosti navedenih u izjavi u formulu \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), imamo:

\(V=\frac{4}{3}\pi6^3\)

\(V=\frac{4}{3}\pi216\)

\(V=288\pi\approx288\cdot3,14=904.32{\cm}^3\)

pitanje 2

Spremnik ima sferni oblik. Poznato je da ima volumen u 288π cm³. Znajući njegov volumen, možemo reći da je mjera polumjera ovog spremnika:

A) 3 cm

B) 4 cm

C) 5 cm

D) 6 cm

E) 7 cm

rezolucija:

Alternativa D

Mi to znamo \(V=288\pi\).

Zamjena vrijednosti navedenih u izjavi u formulu \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), imamo \(288\pi=\frac{4}{3}\pi R^3\).

Poništavanje π na obje strane i unakrsno množenje:

\({4R}^3=864\)

\(R^3=216\)

\(R=\sqrt[3]{216}\)

\(R=\sqrt[3]{6^3}\)

\(R=6\ cm\)

Izvori

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Osnove elementarne matematike: Prostorna geometrija, knj. 10, 6. izd. São Paulo: Current, 2005.

LIMA, E. et. al. Matematička gimnazija. svezak 2. Rio de Janeiro: SBM, 1998.

Zastava Australije: povijest, značenje

Zastava Australije: povijest, značenje

A zastava od Australija je ultimativni simbol ove zemlje, koja je jedna od najrazvijenijih i naji...

read more
Brazil protiv Kameruna: spor završava 1. fazu Svjetskog prvenstva u Kataru

Brazil protiv Kameruna: spor završava 1. fazu Svjetskog prvenstva u Kataru

Ovog petka (2) brazilski će se tim suočiti s Kamerun u posljednjem kolu grupne faze turnira Svjet...

read more
Svjetsko prvenstvo 2022.: otkrijte kuhinju brazilskih protivnika

Svjetsko prvenstvo 2022.: otkrijte kuhinju brazilskih protivnika

A Svjetsko prvenstvo 2022započela je prošle nedjelje (20) u Katar. Sportski događaj okuplja 32 no...

read more