O volumen sfereizračunava se na temelju mjerenja njegovog radijusa. Kugla je geometrijski oblik koji ima tri dimenzije. Glavni elementi kugle su polumjer i promjer. Volumen sfere izračunava se pomoću specifične formule koja će biti predstavljena u nastavku. Osim volumena, možemo izračunati površinu kugle.
Pročitajte također: Kako izračunati obujam cilindra
Sažetak volumena kugle
- Nekoliko predmeta u našem svakodnevnom životu ima sferni oblik, poput nogometne lopte.
- Glavni elementi kugle su polumjer i promjer.
- Za izračun volumena kugle koristimo se formulom:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
- Postoje i druge važne formule, kao što je formula za područje sfere: \(A=4\pi r^2\).
Video lekcija o volumenu kugle
Što je sfera?
Sfera je jedan trodimenzionalni oblik, definiran kao trodimenzionalni lik čije su točke jednako udaljene od središta. To je jedan od najsimetričnijih oblika i prisutan je u našem svijetu na mnogo načina. Možemo uočiti prisutnost sfere u prirodi, u ljudskom tijelu, u proučavanju planeta, između ostalih situacija u našem svakodnevnom životu.
Kugla je geometrijsko tijelo. Biljarska, nogometna i košarkaška lopta su primjeri sfera. Sastoji se od svih točaka koje su na stalnoj udaljenosti od središnje točke koja se naziva središte sfere. A ta konstantna udaljenost poznata je kao polumjer sfere.
Elementi sfere
Kugla ima nekoliko zanimljivih dijelova:
- Centar: kao što ime govori, to je točka koja se nalazi u središtu sfere.
- Promjer: isječak ravne linije koji spaja dvije suprotne točke na sferi, prolazeći kroz središte.
- Zraka: segment koji ide od središta do bilo koje točke na površini.
- Površinski: vanjski sloj sfere.
- Iznutra: prostor unutar sfere.
Kako se izračunava volumen kugle?
Izračunava se volumen kugle po formuli:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)
- V: je volumen sfere.
- A: je polumjer sfere.
- π: je konstanta.
Okonstantna vrijednost πnajčešće se koristi približno 3,14, ali možemo uzeti u obzir π jednako približno 3, ili približno 3,1, ili čak približno 3,1415, ovisno o tome koliko decimalnih mjesta želimo uzeti u obzir, budući da π je iracionalan broj, a iracionalni brojevi imaju beskonačno mnogo decimalnih mjesta.
- Primjer:
Kugla ima polumjer 6 cm. Koliki je volumen ove kugle s obzirom na to π=3?
rezolucija:
Izračunavanjem volumena kugle imamo:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
\(V=\frac{4\cdot3\cdot6^3}{3}\)
\(V=\frac{12\cdot216}{3}\)
\(V=\frac{2592}{3}\)
\(V=864\ cm^3\)
Dakle, volumen ove kugle je 864 cm³.
Još jedna formula sfere
Osim prikazane formule za izračunavanje volumena kugle, postoji još jedna važna formula, a to je formula površine. Za izračunavanje površine kugle, formula je:
\(A=4\pi r^2\)
A površina sfere nije ništa drugo nego područje koje okružuje sferu. Na primjer, u plastičnoj lopti, sfera je cijela lopta, a površina je područje plastike koje je kontura te lopte.
- Primjer:
Kolika je površina kugle polumjera 5 cm?
rezolucija:
Kao vrijednost π, nećemo ga zamijeniti nikakvom vrijednošću, pa:
\(A=4\cdot\pi\cdot5^2\)
\(A=4\cdot\pi\cdot25\)
\(A=100\pi\ cm²\)
Područje ove sfere je u 100πcm2.
Znati više: Koja je razlika između opsega, kruga i kugle?
Riješene vježbe o volumenu kugle
Pitanje 1
Kuglasti predmet ima polumjer 6 cm. Zatim volumen ovog objekta (koristeći π=3,14) približno je jednak:
A) 314,42 cm³
B) 288,00 cm³
C) 424,74 cm³
D) 602,38 cm³
E) 904,32 cm³
rezolucija:
Alternativa E
Zamjena vrijednosti navedenih u izjavi u formulu \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), imamo:
\(V=\frac{4}{3}\pi6^3\)
\(V=\frac{4}{3}\pi216\)
\(V=288\pi\approx288\cdot3,14=904.32{\cm}^3\)
pitanje 2
Spremnik ima sferni oblik. Poznato je da ima volumen u 288π cm³. Znajući njegov volumen, možemo reći da je mjera polumjera ovog spremnika:
A) 3 cm
B) 4 cm
C) 5 cm
D) 6 cm
E) 7 cm
rezolucija:
Alternativa D
Mi to znamo \(V=288\pi\).
Zamjena vrijednosti navedenih u izjavi u formulu \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), imamo \(288\pi=\frac{4}{3}\pi R^3\).
Poništavanje π na obje strane i unakrsno množenje:
\({4R}^3=864\)
\(R^3=216\)
\(R=\sqrt[3]{216}\)
\(R=\sqrt[3]{6^3}\)
\(R=6\ cm\)
Izvori
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Osnove elementarne matematike: Prostorna geometrija, knj. 10, 6. izd. São Paulo: Current, 2005.
LIMA, E. et. al. Matematička gimnazija. svezak 2. Rio de Janeiro: SBM, 1998.