O volumen krnjeg stošca je prostor koji zauzima ovo okruglo tijelo. Budući da presjek stošca polumjera R daje manji stožac polumjera r i krnjeg stošca, volumeni ovih triju tijela su povezani.
Pročitajte također: Kako izračunati deblo piramide
Sažetak o volumenu krnjeg stošca
- Stožac polumjera R presječen poprečno na visinu H osnovne ravnine podijeljen je na dva geometrijska tijela: stožac polumjera r to je stožac debla.
- Glavni elementi krnjeg stošca su visina H, najmanja baza radijusa r i veća baza radijusa R.
- Volumen krnjeg stošca je razlika između volumena stošca polumjera R i volumena stošca polumjera r.
- Formula za volumen krnjeg stošca je:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
Video lekcija o volumenu krnjeg stošca
Koji su elementi krnjeg stošca?
Elementi krnjeg stošca formiranog od presjeka pravog stošca polumjera R su:
- manja baza – polumjer kruga r, dobiven u presjeku stošca polumjera R .
- veća baza – kružna baza stošca polumjera R .
- Visina (h) – razmak između ravnina baza.
- Generatrix – segment s krajevima na obodima koji ograničavaju baze.
A slika ispod prikazuje elemente krnjeg stošca. Imajte na umu da su mala i velika baza paralelne.
Formula volumena debla stošca
Zatim, deduciramo formulu za volumen frustuma visine H, manji radijus baze r a polumjer najveće baze R .
Smatrajte da je presjek stošca polumjera R i visine H1 proizvodi dvije čvrste tvari:
- stožac munje r i visine H2 to je
- visoki stožac debla H .
shvatiti \(H_1=H_2+h\).
Volumen stošca polumjera R (koji ćemo zvati veći stožac) bit će predstavljen s VR; volumen konusa radijusa r (koji ćemo zvati manji stožac), po Vr; a volumen krnjeg stošca za Vt. Stoga:
\(V_R=V_r+V_t\)
Napomena:
- \( V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
- \( V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)
Promatranje: VR i Vr su volumeni stožaca. Za pregled ovog predmeta kliknite ovdje.
Kao ovo:
\(V_R=V_r+V_t\)
\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
Član H2 odgovara visini manjeg stošca. Povezujući visine stožaca s odgovarajućim radijusima baza, možemo dobiti formulu za volumen debla koja ovisi samo o elementima debla (R, r to je H).
Povezivanje polumjera i visine većeg stošca (R i H1 ) s radijusom i visinom manjeg stošca (r i H2), imamo sljedeću proporciju:
\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)
\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)
\(RH_2=rH_2+rh\)
\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)
Uskoro, možemo prepisati volumen prtljažnika Vt kako slijedi:
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)
Kao ovo, Formula za volumen krnjeg stošca je:
\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)
Pročitajte također: Formule volumena raznih geometrijskih tijela
Kako izračunati obujam krnjeg stošca?
Za izračunavanje volumena krnjeg stošca, samo zamijenite mjere visine, polumjer manje baze i polumjer veće baze u formuli.
- Primjer: Koliki je volumen, u kubičnim centimetrima, krnjeg stošca u kojem je radijus veće baze R = 5 cm, polumjer manje osnovice je r = 3 a visina je h = 2 cm? (Koristite π=3 )
Zamjenom podataka u formuli imamo:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)
\(V_t=2⋅(49)\)
\(V_t=98 cm³\)
Riješene vježbe o volumenu krnjeg stošca
Pitanje 1
Lonac ima oblik krnjeg stošca s najvećim radijusom baze R = 8 cm, najmanjim radijusom baze. r = 4 i visinu h = 2 cm. Volumen ovog lonca, u cm³, je:
a) 48 pi
b) 64 pi
c) 112 pi
d) 448 pi
e) 1344 pi
Rezolucija
Zamjenom podataka u formuli imamo:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)
\(V_t=4π⋅(112)\)
\(V_t=448 π\)
Alternativa D
pitanje 2
(Enem 2021.) Jedna je osoba kupila šalicu za piće juhe, kao što je prikazano.
Poznato je da je 1 cm³ = 1 mL i da je vrh šalice krug promjera (D) 10 cm, a baza krug promjera (d) 8 cm.
Nadalje, poznato je da visina (h) ove šalice iznosi 12 cm (udaljenost između središta gornjeg i donjeg kruga).
Koristite 3 kao aproksimaciju za π.
Koliki je volumetrijski kapacitet, u mililitrima, ove šalice?
a) 216
b) 408
c) 732
d) 2196
e) 2928
Rezolucija
Oblik šalice je krnji stožac u kojem je vrh veća baza. Također, R=5, r = 4 cm i H = 12. Uskoro:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)
\(V_t=12⋅(61)\)
\(V_t=732 cm³\)
Kako je 1 cm³ = 1 mL, imamo 732 cm³ = 732 mL.
Alternativa C
Izvori:
DANTE, L. R. Matematika: kontekst i aplikacije - Srednja škola. 3. izd. Sao Paulo: Attica, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, J. Ne. Osnove elementarne matematike, Vol 10: Prostorna geometrija - položaj i metrika. 7 izd. Santos: Current, 2013.
Izvor: Brazilska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-tronco-de-cone.htm
