A Matrica identiteta je posebna vrsta zapovjedništvo. Znamo kao matrica identiteta In kvadratna matrica reda n koja ima sve članove na dijagonali jednake 1 i članove koji ne pripadaju glavnoj dijagonali jednake 0. Matrica identiteta se smatra neutralnim elementom množenja, odnosno ako množimo matricu M matricom identiteta, kao rezultat nalazimo samu matricu M.
Vidi također: Što je determinanta matrice?
Sažetak o matrici identiteta
Matrica identiteta je kvadratna matrica s elementima na glavnoj dijagonali jednakim 1 i s ostalim elementima jednakim 0.
Postoje matrice identiteta različitih redoslijeda. Mi predstavljamo matricu identiteta reda n od strane I n.
Matrica identiteta je neutralni element množenja matrice, tj. \( A\cdot I_n=A.\)
Umnožak kvadratne matrice i njene inverzne matrice je matrica identiteta.
Što je matrica identiteta?
Matrica identiteta je a posebna vrsta kvadratne matrice. Kvadratna matrica je poznata kao matrica identiteta ako ima sve elemente na glavnoj dijagonali jednake 1, a sve ostale elemente jednake 0. Zatim, u svakoj matrici identiteta:
➝ Tipovi matrica identiteta
Postoje matrice identiteta različitih redoslijeda. Redoslijed n zastupa In. Pogledajmo ispod neke matrice drugih redova.
Naručite 1 matricu identiteta:
\(I_1=\lijevo[1\desno]\)
Matrica identiteta reda 2:
\(I_2=\lijevo[\begin{matrica}1&0\\0&1\\\end{matrica}\desno]\)
Matrica identiteta reda 3:
\(I_3=\lijevo[\begin{matrica}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrica}\desno]\)
Matrica identiteta reda 4:
\(I_4=\lijevo[\begin{matrica}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrica}\desno]\)
Matrica identiteta reda 5:
\(I_5=\lijevo[\begin{matrica}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrica}\right]\)
Sukcesivno možemo pisati matrice identiteta različitih redoslijeda.
Svojstva matrice identiteta
Matrica identiteta ima važno svojstvo jer je neutralni element množenja između matrica. Ovo znači to svaka matrica pomnožena s matricom identiteta jednaka je sama sebi. Dakle, s obzirom na matricu M reda n,imamo:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Drugo važno svojstvo matrice identiteta je da umnožak kvadratne matrice i njezine inverzna matrica je matrica identiteta. Zadana je kvadratna matrica M reda n, umnožak M i njegovog inverza dan je izrazom:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Pročitajte također: Što je trokutasta matrica?
Množenje matrice identiteta
Kada pomnožimo matricu M s matricom identiteta reda n, kao rezultat dobivamo matricu M. Pogledajmo u nastavku primjer umnoška matrice M reda 2 s matricom identiteta reda 2.
\(A\ =\ \lijevo(\begin{matrica}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrica}\desno) \) to je \(I_n=\lijevo(\početak{matrice}1&0\\0&1\\\kraj{matrice}\desno)\)
Pretpostavljajući da:
\(A\cdot I_n=B\)
Imamo:
\(B\ =\lijevo(\begin{matrica}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrica}\desno)\)
Dakle, umnožak A po \(U\) biti će:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Imajte na umu da su članovi matrice B identični članovima matrice A, to jest:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Primjer:
Biće M Matrica \(M=\ \lijevo[\begin{matrica}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrica}\desno]\), izračunajte umnožak između matrice M i matrice \(I_3\).
rezolucija:
Provodeći množenje, imamo:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\\\end{matrica}\desno]\)
\(M\cdot I_3=\lijevo[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1 \ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\lijevo(-2\desno)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\lijevo(-2\desno)\ cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\lijevo(-2\desno)\cdot0+1\cdot1\\\end{matrica}\desno]\)
\(M\cdot I_3=\lijevo[\begin{matrica}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrica}\desno]\)
Riješene vježbe na matrici identiteta
Pitanje 1
Postoji kvadratna matrica reda 3 koja je definirana sa \(a_{ij}=1 \) kada \(i=j\) to je \(a_{ij}=0\) to je kada \(i\neq j\). Ova matrica je kao:
A) \( \lijevo[\begin{matrica}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrica}\desno]\)
B) \( \lijevo[\begin{matrica}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrica}\desno]\)
W) \( \lijevo[\begin{matrica}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrica}\desno]\)
D) \( \lijevo[\begin{matrica}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrica}\desno]\)
I) \( \lijevo[\begin{matrica}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrica}\desno]\)
rezolucija:
Alternativa D
Analizirajući matricu, imamo:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Dakle, matrica je jednaka:
\(\lijevo[\begin{matrica}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrica}\desno]\)
pitanje 2
(UEMG) Ako je inverzna matrica od \(A=\lijevo[\begin{matrica}2&3\\3&x\\\end{matrica}\desno]\) é \( \lijevo[\begin{matrica}5&-3\\-3&2\\\end{matrica}\desno]\), vrijednost x je:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
rezolucija:
Alternativa A
Množenjem matrica uviđamo da je njihov umnožak jednak matrici identiteta. Računajući umnožak drugog retka matrice s prvim stupcem njezinog inverza, imamo:
\(3\cdot5+x\cdot\lijevo(-3\desno)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor matematike
Izvor: Brazilska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm
