zbroj i umnožak To je metoda koja se koristi za pronalaženje rješenja a jednadžba. Koristimo zbroj i umnožak kao metodu za izračunavanje korijena a jednadžba 2. stupnja, tipa ax² + bx + c = 0.
Ovo je zanimljiva metoda kada su rješenja jednadžbe cijeli brojevi. U slučajevima kada rješenja nisu cijeli brojevi, može biti prilično komplicirano koristiti zbroj i umnožak, s drugim lakšim metodama za pronalaženje rješenja jednadžbe.
Pročitajte također: Bhaskara — najpoznatija formula za rješavanje kvadratnih jednadžbi
Sažetak o zbroju i umnošku
- Zbroj i umnožak jedna je od metoda koja se koristi za pronalaženje rješenja potpune kvadratne jednadžbe.
- Zbrojem i umnoškom, s obzirom na jednadžbu 2. stupnja ax² + bx + c = 0, imamo:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- x1 to je x2 su rješenja kvadratne jednadžbe.
- a, b i c su koeficijenti jednadžbe 2. stupnja.
Što je zbroj i umnožak?
Zbroj i umnožak je jedna od metoda koju možemo koristiti za pronalaženje rješenja jednadžbe. Koriste se u jednadžbama 2. stupnja, zbroj i umnožak mogu biti praktičnija metoda za pronalaženje rješenja jednadžba, jer se sastoji od traženja brojeva koji zadovoljavaju formulu zbroja i umnoška za dano jednadžba.
Formula zbroja i umnoška
U kvadratnoj jednadžbi, tipa ax² + bx + c = 0, s rješenjima jednakim x1 i x2, po zbroju i umnošku imamo:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Kako izračunati korijene koristeći zbroj i umnožak?
Da bismo pronašli rješenja, prvo tražimo cijele brojeve čiji je umnožak jednak \(\frac{c}{a}\).
Znamo da rješenja jednadžbe mogu biti pozitivna i negativna:
- Pozitivan umnožak i pozitivan zbroj: oba su korijena pozitivna.
- Pozitivan umnožak i negativan zbroj: oba korijena su negativna.
- Negativan umnožak i pozitivan zbroj: jedan korijen je pozitivan, a drugi negativan, a onaj s najvećim modulom je pozitivan.
- Negativan umnožak i negativan zbroj: jedan korijen je pozitivan, a drugi negativan, a onaj s najvećim modulom je negativan.
Kasnije, nakon popisa svih produkata koji zadovoljavaju jednadžbu, analiziramo koji od njih zadovoljava jednadžbu. jednadžba zbroja, odnosno koja su to dva broja koja zadovoljavaju jednadžbu umnoška i zbroja istovremeno.
Primjer 1:
Pronađite rješenja jednadžbe:
\(x²-5x+6=0\)
Najprije ćemo zamijeniti formulu zbroja i umnoška. Imamo da je a = 1, b = -5 i c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
Budući da su zbroj i umnožak pozitivni, korijeni su pozitivni. Analizirajući proizvod, znamo da:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
Sada ćemo provjeriti koji od ovih rezultata ima zbroj jednak 5, što je u ovom slučaju:
\(2+3=5\)
Dakle, rješenja ove jednadžbe su \(x_1=2\ i\ x_2=3\).
Primjer 2:
Pronađite rješenja jednadžbe:
\(x^2+2x-24=0\ \)
Prvo ćemo zamijeniti formulu zbroja i umnoška. Imamo a = 1, b = 2 i c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
Budući da su zbroj i umnožak negativni, korijeni su suprotnih predznaka, a onaj s najvećim modulom je negativan. Analizirajući proizvod, znamo da:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\lijevo(-12\desno)=-24\)
\(3\cdot\lijevo(-8\desno)=-24\)
\(4\cdot\lijevo(-6\desno)=-24\)
Sada provjerimo koji od ovih rezultata ima zbroj jednak -2, što je u ovom slučaju:
\(4+\lijevo(-6\desno)=-2\)
Dakle, rješenja ove jednadžbe su \(x_1=4\ i\ x_2=-6\) .
Pročitajte također: Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu
Riješene vježbe o zbroju i umnošku
Pitanje 1
biti g to je z korijeni jednadžbe 4x2-3x-1=0, vrijednost 4(y+4)(z+4) é:
A) 75
B) 64
C) 32
D) 18
E) 16
rezolucija:
Alternativa A
Računanje po zbroju i umnošku:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
Dakle, moramo:
\(4\lijevo (y+4\desno)\lijevo (z+4\desno)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\lijevo (y+4\desno)\lijevo (z+4\desno)=4\lijevo(-\frac{1}{4}+4\lijevo (y+z\desno)+16\desno )\)
\(4\lijevo (y+4\desno)\lijevo (z+4\desno)=4\lijevo(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ pravo)\)
\(4\lijevo (y+4\desno)\lijevo (z+4\desno)=4\lijevo(-\frac{1}{4}+3+16\desno)\)
\(4\lijevo (y+4\desno)\lijevo (z+4\desno)=4\lijevo(-\frac{1}{4}+19\desno)\)
\(4\lijevo (y+4\desno)\lijevo (z+4\desno)=4\lijevo(\frac{76-1}{4}\desno)\)
\(4\lijevo (y+4\desno)\lijevo (z+4\desno)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\lijevo (y+4\desno)\lijevo (z+4\desno)=75\)
pitanje 2
Uzimajući u obzir jednadžbu 2x2 + 8x + 6 = 0, neka S bude zbroj korijena ove jednadžbe i P bude umnožak korijena jednadžbe, tada je vrijednost operacije (S - P)2 é:
A) 36
B) 49
C) 64
D) 81
E) 100
rezolucija:
Alternativa B
Računanje po zbroju i umnošku:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
Dakle, moramo:
\(\lijevo(-4-3\desno)^2=\lijevo(-7\desno)^2=49\)
Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor matematike
Izvor: Brazilska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm