Mnoštvo korijena

U rješavanju jednadžbe 2. stupnja x2 - 6x + 9 = 0, nalazimo dva korijena jednaka 3. Koristeći teorem dekompozicije, faktoriramo polinom i dobivamo:
x2 - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)2
U ovom slučaju kažemo da je 3 korijen višestrukosti 2 ili dvostruki korijen jednadžbe.
Dakle, ako faktorni polinom rezultira sljedećim izrazom:

Možemo reći da:
x = -5 je korijen s višestrukošću 3 ili trostruki korijen jednadžbe p (x) = 0
x = -4 je korijen s višestrukošću 2 ili dvostruki korijen jednadžbe p (x) = 0
x = 2 je korijen s višestrukošću 1 ili jednostavni korijen jednadžbe p (x) = 0
Općenito kažemo da je r korijen višestrukosti n, s n ≥ 1, jednadžbe p (x) = 0, ako:

Imajte na umu da je p (x) djeljivo sa (x - r)m te da uvjet q (r) ≠ 0 znači da r nije korijen q (x) i jamči da višestrukost korijena r nije veća od m.
Primjer 1. Riješi x jednadžbu4 - 9x3 + 23x2 - 3x - 36 = 0, s obzirom da je 3 dvostruki korijen.
Rješenje: Smatrajmo p (x) zadanim polinomom. Tako:

Imajte na umu da se q (x) dobiva dijeljenjem p (x) s (x - 3)

2.
Dijeljenjem s Briot-Ruffinijevim praktičnim uređajem dobivamo:

Nakon izvođenja dijeljenja vidimo da su koeficijenti polinoma q (x) 1, -3 i -4. Dakle, q (x) = 0 bit će: x2 - 3x - 4 = 0
Riješimo gornju jednadžbu da odredimo ostale korijene.
x2 - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 ili x = 4
Prema tome, S = {-1, 3, 4}
Primjer 2. Napišite algebarsku jednadžbu minimalnog stupnja takvu da je 2 dvostruki korijen, a - 1 jedan korijen.
Rješenje: Moramo:
(x - 2) (x - 2) (x - (-1)) = 0
Ili

Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)

Napisao Marcelo Rigonatto
Stručnjak za statistiku i matematičko modeliranje
Brazilski školski tim

Polinomi - Matematika - Brazil škola

Želite li uputiti ovaj tekst u školskom ili akademskom radu? Izgled:

RIGONATTO, Marcelo. "Mnoštvo korijena"; Brazil škola. Dostupno u: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm. Pristupljeno 29. lipnja 2021.

Interpolacija geometrijskih sredina

Interpolacija geometrijskih sredina

Geometrijska progresija numerički je slijed koji poštuje zakon formacije. U PG-u svaki se pojam, ...

read more

Zbrajanje, oduzimanje i množenje polinoma

U situacijama koje uključuju algebarske proračune, izuzetno je važno primijeniti pravila u opera...

read more
Zbroj P.G. konačan. Zbroj pojmova P.G. konačan

Zbroj P.G. konačan. Zbroj pojmova P.G. konačan

Proučavanje progresija temelji se na sekvencama koje imaju matematički obrazac. Prema ovom obrasc...

read more